a) Ta có:
- Góc APC và góc AYC cùng nằm trên cùng một dây cung AYC nên bằng nhau (đều bằng nửa góc ngoài tương ứng).
- Tương tự, góc APB và góc AXB bằng nhau.
- Do đó, tứ giác APCB và tứ giác AYXB có các cặp góc đối kháng bằng nhau, từ đó hai tứ giác trên đều nội tiếp trong đường tròn (O).
- Từ đó, ta có tứ giác APFE cũng nội tiếp trong đường tròn (O).

b) Gọi G là giao điểm của AP và EF. Ta có:
- Tứ giác APFE nội tiếp trong đường tròn nên góc PGE và góc PFE là bù của nhau.
- Tứ giác APGE nội tiếp trong đường tròn nên góc PGE và góc PAE là bù của nhau.
- Do đó, góc PFE và góc PAE cùng bằng góc P.
- Tương tự, góc PEF và góc PGA cũng cùng bằng góc P.
- Tứ giác PFGE là tứ giác điều hòa, từ đó ta có \( \frac{PF}{PG} = \frac{PE}{PA} \) hoặc \( PF \cdot PA = PE \cdot PG \).
- Nhưng tứ giác APCB nội tiếp nên PG là tiếp điểm của EF và (O), nên \( PG = PB \).
- Vậy \( PB \cdot PE = PF \cdot PA \).

c) Ta có thể sử dụng định lí Pappus cho hai dãy điểm M, X, Y và I, J, H trên đường tròn (O).