a) Ta có:
$\angle AEF = \angle ADB$ (do $AE \parallel BD$ và $EF \parallel BC$)
$\angle AHE = \angle ACF$ (do $AH \parallel CF$)
$\angle AEF + \angle AHE = \angle ADB + \angle ACF = 180^\circ$ (do $AD \perp BC$)
Vậy tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:
$\angle FAD = \angle FAE = \angle FHE = \angle FOC$ (do tứ giác $AEHF$ là tứ giác nội tiếp)
$\angle OFC = \angle OAC$ (do $OC$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$)
Vậy $\triangle FAD \sim \triangle OFC$ và từ đó ta có $(FAD) = (OFC)$.

Gọi $N$ là giao điểm của $AO$ và $BC$. Ta có $ON \parallel EF$ (do $ON$ là đường cao của tam giác $ABC$ và $EF$ là đường cao của tam giác $AEF$), từ đó suy ra $\triangle OCN \sim \triangle EFM$.
Do đó, $OC \cdot OC = ON \cdot OM = OD \cdot OM$.
Vậy ta có $OC \cdot OC = OD \cdot OM$.

c) Ta có $\angle OCN = 90^\circ$ (do $ON$ là đường cao của tam giác $ABC$) và $\angle EFM = 90^\circ$ (do $EF \perp BC$).
Vậy $MH \perp AO$.