Chứng minh bất đẳng thức a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

Ta có: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Và 2(a2 + b2) = 2a2 + 2b2

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh rằng:

a2 + 2ab + b2 ≤ 2a2 + 2b2

Điều này tương đương với:

2ab ≤ a2 + b2

Đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM:

a2 + b2 ≥ 2ab

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức a).

Chứng minh bất đẳng thức b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

Ta có: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)

Và 3(a2 + b2 + c2) = 3a2 + 3b2 + 3c2

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh rằng:

a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2

Điều này tương đương với:

2(ab + ac + bc) ≤ 2a2 + 2b2 + 2c2

ab + ac + bc ≤ a2 + b2 + c2

Đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức b).