a) Để tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} y = 2x + m - 1 \\ y = -x^2 \end{cases}\]

Thay \(y = 2x + m - 1\) vào \(y = -x^2\), ta được:
\[2x + m - 1 = -x^2\]
\[x^2 + 2x + m - 1 = 0\]

Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, ta có \(\Delta > 0\):
\[\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) > 0\]
\[4 - 4m + 4 > 0\]
\[-4m + 8 > 0\]
\[m < 2\]

Vậy để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, ta cần \(m < 2\).

b) Để tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) B(x₂; y₂) thoả mãn \((y₁ - y₂)^2 = 16\), ta giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} y = 2x + m - 1 \\ y = -x^2 \end{cases}\]

Thay \(y = 2x + m - 1\) vào \(y = -x^2\), ta được:
\[2x + m - 1 = -x^2\]
\[x^2 + 2x + m - 1 = 0\]

Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, ta có \(\Delta > 0\) và \((y₁ - y₂)^2 = 16\):
\[\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) > 0\]
\[4 - 4m + 4 > 0\]
\[-4m + 8 > 0\]
\[m < 2\]

Từ \((y₁ - y₂)^2 = 16\), ta có:
\[(2x₁ + m - 1) - (2x₂ + m - 1) = 16\]
\[2(x₁ - x₂) = 16\]
\[x₁ - x₂ = 8\]

Vậy để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) B(x₂; y₂) thoả mãn \((y₁ - y₂)^2 = 16\), ta cần \(m < 2\) và \(x₁ - x₂ = 8\).