Để giải bài toán này, ta cần phân tích từng bước như sau:

Gọi a, b, c, d, e, f là các chữ số của số n (với a là chữ số hàng nghìn, b là chữ số hàng trăm, c là chữ số hàng chục, d là chữ số hàng đơn vị, e là chữ số hàng phần trăm, f là chữ số hàng trăm phần nghìn).

Ta có:
S(n) = a + b + c + d + e + f
S(n+1) = a + b + c + d + e + f + 1

Vậy ta có phương trình:
S(n).S(n+1) = (a + b + c + d + e + f)(a + b + c + d + e + f + 1) = 87

Ta cần tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên.

Dễ thấy rằng a, b, c, d, e, f đều thuộc đoạn [0, 9] vì chúng là các chữ số của số nguyên dương n.

Ta thử từng trường hợp:
- Nếu S(n) = 1, ta có S(n+1) = 2. Như vậy, không có số nguyên dương n nào thỏa mãn điều kiện.
- Nếu S(n) = 2, ta có S(n+1) = 3. Tương tự, không có số nguyên dương n nào thỏa mãn điều kiện.
- ...
- Nếu S(n) = 13, ta có S(n+1) = 14. Ta thấy rằng khi S(n) = 13, ta có S(n).S(n+1) = 13*14 = 182 > 87.
- Nếu S(n) = 12, ta có S(n+1) = 13. Ta thấy rằng khi S(n) = 12, ta có S(n).S(n+1) = 12*13 = 156 > 87.
- Nếu S(n) = 11, ta có S(n+1) = 12. Ta thấy rằng khi S(n) = 11, ta có S(n).S(n+1) = 11*12 = 132 < 87.

Vậy, số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn là 11.

Kết quả: n = 11.