LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O), với B,C là các tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AO và BC

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O), với B,C là các tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AO và BC.
1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2. Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O) sao cho M thuộc đoạn AN. Gọi P là trung điểm HN, đường thẳng qua H vuông góc với BP tại J cắt đường thẳng BM tại S.
a. Chứng minh rằng hai tam giác BPN và SHB đồng dạng.
b. Hai đường thẳng SP và BC cắt nhau tại K, đường thẳng qua B vuông góc với SP tại I cắt đường thẳng MN tại Q. Chứng minh rằng HK.HQ=PQ.KC
2 trả lời
Hỏi chi tiết
202
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh các phần trên, ta có các bước giải quyết như sau:

1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp:
- Ta có AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ∠OAB = ∠OCA = 90°.
- Do đó, tứ giác ABOC nội tiếp trong đường tròn (O).

2.
a. Chứng minh hai tam giác BPN và SHB đồng dạng:
- Ta có ∠BHN = ∠BAN (do BN//AC) = ∠BPN.
- ∠HBS = ∠HBJ = 90° - ∠JBS = 90° - ∠HBP = ∠BHP.
- Vậy hai tam giác BPN và SHB đồng dạng.

b. Chứng minh HK.HQ=PQ.KC:
- Ta có ∠HKS = ∠HBS = ∠BHP = ∠HQN.
- Vậy tứ giác HKQS nội tiếp.
- Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác HKQS: HK.HQ + KQ.HS = SQ.HK.
- Ta có KQ.HS = PQ.KC (do tam giác BPN và SHB đồng dạng).
- Vậy HK.HQ + PQ.KC = SQ.HK => HK.HQ = PQ(KC - SQ) = PQ.KC.
13
3
+5đ tặng

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
1
0
+4đ tặng
CHẤM ĐIỂM CHO MÌNH NHA
Để giải quyết bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học và hình học phẳng.

1. Để chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, ta sử dụng tính chất của các góc nội tiếp. Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAC và góc BOC là góc đồng nội tiếp. Tương tự, góc ABO và góc ACO là góc đồng nội tiếp. Vậy tứ giác ABOC nội tiếp.

2.
a. Ta cần chứng minh hai tam giác BPN và SHB đồng dạng.
- Do góc BHP và góc BSP cùng là góc vuông (vì HP vuông góc BP và BS vuông góc BP), nên hai tam giác BHP và BSP đồng dạng theo góc.
- Do góc BPN và góc SHB cùng là góc nội tiếp của tứ giác ABOC, nên hai tam giác BPN và SHB cũng đồng dạng theo góc.

b. Ta cần chứng minh HK.HQ=PQ.KC.
- Gọi T là giao điểm của BP và AC. Ta có:
+ Vì ABC và HBC là đồng dạng, nên HC/AC = BC/TC.
+ Vì ABC và HBC là đồng dạng, nên BH/AB = HC/TC.
+ Do đó, BH/AB = BC/TC, hay BH.BC = AB.TC.
+ Nhưng AB.TC là công thức bất biến khi quan sát từ đỉnh A của tam giác ABT nên ta có tứ giác ABTC nội tiếp.
- Ta cần chứng minh tứ giác PQTK nội tiếp.
+ Vì góc TQC và góc TPC cùng là góc nội tiếp của tứ giác ABTC, nên PQTK là tứ giác nội tiếp.
- Áp dụng định lí nội tiếp và tính chất của tam giác đồng dạng:
+ HK.HQ = BH.HN (do BHNC nội tiếp)
+ PQ.KC = TQ.KC (do PQTK nội tiếp và T là trung điểm PC)
- Vậy, HK.HQ=PQ.KC.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập liên quan
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư