Để tìm giá trị của \( m \) sao cho diện tích tam giác \( AOB \) bằng 3 đơn vị diện tích, ta cần xác định tọa độ các điểm \( A \), \( O \), và \( B \) và sau đó tính diện tích tam giác.

1. **Xác định giao điểm của đường thẳng \( d \) và parabol \( P \):**

Đường thẳng \( d \) có phương trình \( y = mx + 2 \).
Parabol \( P \) có phương trình \( y = x^2 \).

Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
y = mx + 2 \\
y = x^2
\end{cases}
\]

Thay \( y \) từ phương trình đường thẳng vào phương trình parabol:
\[
x^2 = mx + 2
\]
\[
x^2 - mx - 2 = 0
\]

Đây là phương trình bậc hai, ta có thể giải để tìm \( x \):
\[
x = \frac{m \pm \sqrt{m^2 + 8}}{2}
\]

Gọi hai nghiệm của phương trình này là \( x_1 \) và \( x_2 \). Khi đó, tọa độ các giao điểm là \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \), với \( y_1 = x_1^2 \) và \( y_2 = x_2^2 \).

2. **Xác định tọa độ gốc \( O \):**

Điểm \( O \) là gốc tọa độ, có tọa độ \( (0, 0) \).

3. **Tính diện tích tam giác \( AOB \):**

Diện tích tam giác \( AOB \) được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 - x_2y_1 \right|
\]

Với \( y_1 = x_1^2 \) và \( y_2 = x_2^2 \), ta có:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(x_2^2) - x_2(x_1^2) \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1x_2^2 - x_2x_1^2 \right|
\]
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1x_2(x_2 - x_1) \right|
\]

Ta cần diện tích này bằng 3 đơn vị diện tích:
\[
\frac{1}{2} \left| x_1x_2(x_2 - x_1) \right| = 3
\]
\[
\left| x_1x_2(x_2 - x_1) \right| = 6
\]

4. **Tính \( x_1 \) và \( x_2 \):**

Từ phương trình bậc hai \( x^2 - mx - 2 = 0 \), ta có:
\[
x_1 + x_2 = m \quad \text{(tổng các nghiệm)}
\]
\[
x_1x_2 = -2 \quad \text{(tích các nghiệm)}
\]

Thay vào biểu thức diện tích:
\[
\left| (-2)(x_2 - x_1) \right| = 6
\]
\[
\left| x_2 - x_1 \right| = 3
\]

Do \( x_2 - x_1 = \sqrt{m^2 + 8} \), ta có:
\[
\left| \sqrt{m^2 + 8} \right| = 3
\]
\[
\sqrt{m^2 + 8} = 3
\]
\[
m^2 + 8 = 9
\]
\[
m^2 = 1
\]
\[
m = \pm 1
\]

Vậy, giá trị của \( m \) để diện tích tam giác \( AOB \) bằng 3 đơn vị diện tích là \( m = 1 \) hoặc \( m = -1 \).