Cho \( A = \frac{2x - 1}{x + 2} \) với \( x \neq -2 \).

a. Tìm \( x \) nguyên để \( A \) nguyên:
Để \( A \) là số nguyên, ta có:
\[ \frac{2x - 1}{x + 2} = k \]
với \( k \) là số nguyên. Khi đó:
\[ 2x - 1 = k(x + 2) \]
\[ 2x - 1 = kx + 2k \]
\[ 2x - kx = 2k + 1 \]
\[ x(2 - k) = 2k + 1 \]
\[ x = \frac{2k + 1}{2 - k} \]

Để \( x \) là số nguyên, thì \( \frac{2k + 1}{2 - k} \) phải là số nguyên. Ta xét các giá trị của \( k \) sao cho \( 2 - k \) chia hết cho \( 2k + 1 \).

- Với \( k = 1 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \]

- Với \( k = 2 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2 - 2} = \frac{5}{0} \] (không xác định)

- Với \( k = 0 \):
\[ x = \frac{2 \cdot 0 + 1}{2 - 0} = \frac{1}{2} \] (không nguyên)

- Với \( k = -1 \):
\[ x = \frac{2 \cdot (-1) + 1}{2 - (-1)} = \frac{-2 + 1}{2 + 1} = \frac{-1}{3} \] (không nguyên)

- Với \( k = -2 \):
\[ x = \frac{2 \cdot (-2) + 1}{2 - (-2)} = \frac{-4 + 1}{2 + 2} = \frac{-3}{4} \] (không nguyên)

- Với \( k = -3 \):
\[ x = \frac{2 \cdot (-3) + 1}{2 - (-3)} = \frac{-6 + 1}{2 + 3} = \frac{-5}{5} = -1 \]

Vậy các giá trị \( x \) nguyên để \( A \) nguyên là \( x = 3 \) và \( x = -1 \).

b. Tìm \( x \) nguyên để \( A \) là số tự nhiên:
Số tự nhiên là số nguyên không âm. Từ kết quả phần a, ta có \( x = 3 \) là giá trị duy nhất để \( A \) là số tự nhiên.

c. Tìm \( x \) là số tự nhiên để \( A \) nguyên:
Số tự nhiên là các số nguyên không âm. Từ kết quả phần a, ta có \( x = 3 \) là giá trị duy nhất để \( A \) nguyên.

d. Tìm \( x \) nguyên lớn nhất để \( A \) nhận giá trị nguyên:
Từ kết quả phần a, giá trị \( x \) nguyên lớn nhất để \( A \) nhận giá trị nguyên là \( x = 3 \).

e. Tìm \( x \) nguyên nhỏ nhất để \( A \) nhận giá trị nguyên:
Từ kết quả phần a, giá trị \( x \) nguyên nhỏ nhất để \( A \) nhận giá trị nguyên là \( x = -1 \).