Để tìm giá trị của \( k \) sao cho đường thẳng \( (d) \) và parabol \( (P) \) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm bên trái đường thẳng \( x = 1 \), ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Phương trình giao điểm của \( (d) \) và \( (P) \)**:
- Parabol \( (P) \) có phương trình: \( y = -x^2 \).
- Đường thẳng \( (d) \) có phương trình: \( y = 2(k-1)x - (k+1) \).

Tại giao điểm của \( (d) \) và \( (P) \), ta có:
\[
-x^2 = 2(k-1)x - (k+1)
\]
Hay:
\[
x^2 + 2(k-1)x - (k+1) = 0
\]

2. **Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt**:
- Phương trình bậc hai \( x^2 + 2(k-1)x - (k+1) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\[
\Delta = [2(k-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(k+1)) > 0
\]
Tính toán:
\[
\Delta = 4(k-1)^2 + 4(k+1) = 4[(k-1)^2 + (k+1)]
\]
\[
\Delta = 4[k^2 - 2k + 1 + k + 1] = 4[k^2 - k + 2]
\]
Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt là:
\[
4[k^2 - k + 2] > 0
\]
Vì \( k^2 - k + 2 \) luôn dương với mọi \( k \) (do \( k^2 - k + 2 \) là một tam thức bậc hai có giá trị luôn dương), nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

3. **Điều kiện để hai nghiệm nằm bên trái đường thẳng \( x = 1 \)**:
- Hai nghiệm của phương trình \( x^2 + 2(k-1)x - (k+1) = 0 \) nằm bên trái đường thẳng \( x = 1 \) khi và chỉ khi cả hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.
- Gọi hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Viète, ta có:
\[
x_1 + x_2 = -2(k-1)
\]
\[
x_1 x_2 = -(k+1)
\]
- Điều kiện để \( x_1, x_2 < 1 \):
\[
x_1 + x_2 < 2 \quad \text{và} \quad x_1 x_2 < 1
\]
\[
-2(k-1) < 2 \quad \Rightarrow \quad -2k + 2 < 2 \quad \Rightarrow \quad -2k < 0 \quad \Rightarrow \quad k > 0
\]
\[
-(k+1) < 1 \quad \Rightarrow \quad -k - 1 < 1 \quad \Rightarrow \quad -k < 2 \quad \Rightarrow \quad k > -2
\]

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
\[
k > 0
\]

Vậy giá trị của \( k \) để đường thẳng \( (d) \) và parabol \( (P) \) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm bên trái đường thẳng \( x = 1 \) là \( k > 0 \).