Để tính diện tích tam giác BCM, trước tiên chúng ta cần xác định các thông tin liên quan đến tam giác ABC và vị trí của điểm M trên cạnh AC.

1. **Tính chiều cao từ đỉnh A xuống đáy BC:**

Chiều cao \( h \) từ đỉnh A xuống đáy BC được cho là \( \frac{3}{4} \) độ dài cạnh đáy BC. Do đó:
\[
h = \frac{3}{4} \times 8 = 6 \text{ cm}
\]

2. **Tính diện tích tam giác ABC:**

Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2
\]

3. **Xác định vị trí điểm M trên cạnh AC:**

Điểm M được lấy trên cạnh AC sao cho \( AM = \frac{3}{5} MC \). Điều này có nghĩa là:
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{3}{5}
\]
Tổng chiều dài của AC là \( AM + MC \). Gọi \( AM = 3x \) và \( MC = 5x \), ta có:
\[
AC = AM + MC = 3x + 5x = 8x
\]
Do đó:
\[
AM = 3x = \frac{3}{8} AC \quad \text{và} \quad MC = 5x = \frac{5}{8} AC
\]

4. **Tính diện tích tam giác BCM:**

Diện tích tam giác BCM là một phần của diện tích tam giác ABC. Vì M chia AC theo tỉ lệ \( \frac{3}{5} \), diện tích tam giác BCM sẽ là \( \frac{5}{8} \) diện tích tam giác ABC (vì M chia AC theo tỉ lệ \( \frac{3}{8} \) và \( \frac{5}{8} \)).

Do đó, diện tích tam giác BCM là:
\[
S_{BCM} = \frac{5}{8} \times S_{ABC} = \frac{5}{8} \times 24 = 15 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác BCM là \( 15 \text{ cm}^2 \).