Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần a và b.

### Phần a: Chứng minh tứ giác BDMO nội tiếp

1. **Xét tứ giác BDMO:**
- Ta cần chứng minh rằng các điểm B, D, M, O cùng nằm trên một đường tròn.

2. **Chứng minh:**
- Ta có \(OM \perp AC\) tại M.
- Do BC là đường kính của đường tròn (O), nên \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Tiếp tuyến tại B của đường tròn cắt CA tại D, nên \( \angle ABD = 90^\circ \) (vì tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
- Do đó, \( \angle ABD = \angle BAC = 90^\circ \).

3. **Góc tại M:**
- Ta có \(OM \perp AC\), nên \( \angle OMB = 90^\circ \).

4. **Góc tại D:**
- Ta có \( \angle ABD = 90^\circ \).

5. **Tổng các góc:**
- Tổng các góc \( \angle OMB + \angle ABD = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

6. **Kết luận:**
- Vì tổng các góc đối diện của tứ giác BDMO bằng 180 độ, nên tứ giác BDMO nội tiếp.

### Phần b: Chứng minh góc ABD = góc EAD và ED.AC = AD.EB

1. **Chứng minh góc ABD = góc EAD:**
- Ta đã biết \( \angle ABD = 90^\circ \) và \( \angle BAC = 90^\circ \).
- Xét tam giác OAE, ta có \( \angle OAE = 90^\circ \) (vì OA là bán kính và tiếp tuyến tại B vuông góc với bán kính).
- Do đó, \( \angle EAD = \angle ABD \) (cùng bằng 90 độ).

2. **Chứng minh ED.AC = AD.EB:**
- Xét tam giác ABD và tam giác ADE:
- Ta có \( \angle ABD = \angle EAD \).
- Ta có \( \angle BAD \) là góc chung.
- Do đó, hai tam giác ABD và ADE đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{ED}{AD} = \frac{AC}{EB}
\]
- Suy ra:
\[
ED \cdot EB = AD \cdot AC
\]

### Kết luận:
- Chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác BDMO nội tiếp và \( \angle ABD = \angle EAD \) và \( ED \cdot AC = AD \cdot EB \).