Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \( n \), tích \((n+4)(n+7)\) là một số chẵn, ta cần chứng minh rằng tích này luôn chia hết cho 2.

Xét hai trường hợp của \( n \):

1. **Trường hợp 1: \( n \) là số chẵn**

Giả sử \( n = 2k \) với \( k \) là một số tự nhiên. Khi đó:
\[
n + 4 = 2k + 4
\]
\[
n + 7 = 2k + 7
\]
Tích của chúng là:
\[
(n+4)(n+7) = (2k + 4)(2k + 7)
\]

Ta phân tích tích này:
\[
(2k + 4)(2k + 7) = 2k(2k + 7) + 4(2k + 7)
\]
\[
= 4k^2 + 14k + 8k + 28
\]
\[
= 4k^2 + 22k + 28
\]

Tất cả các số hạng trong biểu thức này đều chia hết cho 2, do đó tổng của chúng cũng chia hết cho 2. Vậy \((n+4)(n+7)\) là một số chẵn.

2. **Trường hợp 2: \( n \) là số lẻ**

Giả sử \( n = 2k + 1 \) với \( k \) là một số tự nhiên. Khi đó:
\[
n + 4 = 2k + 1 + 4 = 2k + 5
\]
\[
n + 7 = 2k + 1 + 7 = 2k + 8
\]
Tích của chúng là:
\[
(n+4)(n+7) = (2k + 5)(2k + 8)
\]

Ta phân tích tích này:
\[
(2k + 5)(2k + 8) = 2k(2k + 8) + 5(2k + 8)
\]
\[
= 4k^2 + 16k + 10k + 40
\]
\[
= 4k^2 + 26k + 40
\]

Tất cả các số hạng trong biểu thức này đều chia hết cho 2, do đó tổng của chúng cũng chia hết cho 2. Vậy \((n+4)(n+7)\) là một số chẵn.

Kết luận: Trong cả hai trường hợp \( n \) là số chẵn hoặc số lẻ, tích \((n+4)(n+7)\) luôn là một số chẵn. Vậy với mọi số tự nhiên \( n \), tích \((n+4)(n+7)\) là một số chẵn.