Cho tam giác \(ABC\) với các điểm \(M\) và \(N\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(BM = MN = NC\). Điều này chia cạnh \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau. Gọi \(D\) là điểm trên cạnh \(AB\) và \(E\) là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(MD \parallel AC\) và \(ME \parallel AB\). Kéo dài \(DM\) và \(EN\) cắt nhau tại \(K\). Biết rằng diện tích tứ giác \(ABKC\) là \(125 \, \text{cm}^2\). Ta cần tính diện tích tam giác \(ABC\).

Trước tiên, ta nhận thấy rằng \(M\) và \(N\) chia cạnh \(BC\) thành ba đoạn bằng nhau, tức là \(BM = MN = NC\). Do đó, \(M\) và \(N\) chia tam giác \(ABC\) thành ba tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.

Xét tam giác \(ABC\) với \(M\) và \(N\) chia cạnh \(BC\) thành ba phần bằng nhau. Ta có:
\[
\text{Diện tích tam giác } ABM = \text{Diện tích tam giác } AMN = \text{Diện tích tam giác } ANC
\]
Do đó, diện tích của mỗi tam giác nhỏ này bằng \(\frac{1}{3}\) diện tích tam giác \(ABC\).

Tiếp theo, xét các tam giác \(MDK\) và \(MEK\). Vì \(MD \parallel AC\) và \(ME \parallel AB\), các tam giác \(MDK\) và \(MEK\) là các tam giác đồng dạng với tam giác \(ABC\).

Do đó, diện tích của tứ giác \(ABKC\) bao gồm diện tích của tam giác \(ABC\) trừ đi diện tích của các tam giác \(MDK\) và \(MEK\). Vì \(MDK\) và \(MEK\) là các tam giác đồng dạng với tam giác \(ABC\) và có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau, diện tích của chúng cũng tỉ lệ với bình phương của tỉ lệ các cạnh tương ứng.

Từ giả thiết, diện tích tứ giác \(ABKC\) là \(125 \, \text{cm}^2\). Ta có:
\[
\text{Diện tích tam giác } ABC = \text{Diện tích tứ giác } ABKC + \text{Diện tích tam giác } MDK + \text{Diện tích tam giác } MEK
\]
Do \(MDK\) và \(MEK\) là các tam giác đồng dạng với tam giác \(ABC\) và có diện tích bằng nhau, ta có:
\[
\text{Diện tích tam giác } MDK + \text{Diện tích tam giác } MEK = \frac{1}{3} \text{Diện tích tam giác } ABC
\]
Vậy:
\[
125 \, \text{cm}^2 = \text{Diện tích tam giác } ABC - \frac{1}{3} \text{Diện tích tam giác } ABC
\]
\[
125 \, \text{cm}^2 = \frac{2}{3} \text{Diện tích tam giác } ABC
\]
Do đó:
\[
\text{Diện tích tam giác } ABC = 125 \, \text{cm}^2 \times \frac{3}{2} = 187.5 \, \text{cm}^2
\]

Vậy, diện tích tam giác \(ABC\) là \(187.5 \, \text{cm}^2\).