Để chứng minh bất đẳng thức \((a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)\), ta sẽ bắt đầu bằng cách biến đổi và so sánh hai vế của bất đẳng thức.

Bất đẳng thức cần chứng minh là:
\[
(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]

1. Mở rộng vế trái của bất đẳng thức:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

2. So sánh với vế phải của bất đẳng thức:
\[
2(a^2 + b^2)
\]

3. Để dễ dàng so sánh, ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng:
\[
a^2 + 2ab + b^2 \leq 2a^2 + 2b^2
\]

4. Trừ \(a^2 + b^2\) từ cả hai vế:
\[
a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 \leq 2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2
\]

5. Đơn giản hóa biểu thức:
\[
2ab \leq a^2 + b^2
\]

6. Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân):
\[
a^2 + b^2 \geq 2ab
\]

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi \(a\) và \(b\) thực. Do đó, ta có:
\[
2ab \leq a^2 + b^2
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Bất đẳng thức đã được chứng minh.