Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Tính diện tích tam giác ADE

Cho tam giác \( ABC \) với diện tích \( S_{ABC} = 900 \, \text{cm}^2 \). Điểm \( D \) nằm trên \( AB \) sao cho \( AD = \frac{2}{3} AB \), và điểm \( E \) nằm trên \( AC \) sao cho \( AE = \frac{2}{3} AC \).

Ta cần tính diện tích tam giác \( ADE \).

Do \( D \) và \( E \) chia các cạnh \( AB \) và \( AC \) theo tỉ lệ \( \frac{2}{3} \), tam giác \( ADE \) sẽ có các cạnh tương ứng với \( AB \) và \( AC \) tỉ lệ với \( \frac{2}{3} \).

Diện tích của tam giác tỉ lệ với bình phương của tỉ lệ các cạnh tương ứng. Vì vậy, diện tích của tam giác \( ADE \) sẽ là:
\[
S_{ADE} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times S_{ABC} = \frac{4}{9} \times 900 \, \text{cm}^2 = 400 \, \text{cm}^2
\]

### Phần b: So sánh \( AI \) và \( AM \)

Đường thẳng đi qua \( A \) cắt \( DE \) tại \( I \) và \( BC \) tại \( M \).

Để so sánh \( AI \) và \( AM \), ta cần xem xét tỉ lệ các đoạn thẳng trong tam giác.

Do \( D \) và \( E \) chia các cạnh \( AB \) và \( AC \) theo tỉ lệ \( \frac{2}{3} \), tam giác \( ADE \) là một tam giác đồng dạng với tam giác \( ABC \) với tỉ lệ \( \frac{2}{3} \).

Đường thẳng \( AM \) cắt \( BC \) tại \( M \), và \( I \) là giao điểm của \( DE \) với đường thẳng qua \( A \).

Theo định lý Menelaus cho tam giác \( ADE \) với đường thẳng cắt các cạnh tại \( I \) và \( M \), ta có:
\[
\frac{AI}{IE} \cdot \frac{ED}{DM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1
\]

Do \( D \) và \( E \) chia các cạnh \( AB \) và \( AC \) theo tỉ lệ \( \frac{2}{3} \), ta có:
\[
\frac{ED}{DM} = \frac{2}{1}
\]
và
\[
\frac{MB}{BA} = \frac{1}{3}
\]

Thay vào phương trình Menelaus:
\[
\frac{AI}{IE} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 \implies \frac{AI}{IE} = \frac{3}{2}
\]

Vậy \( AI = \frac{3}{2} IE \).

Do \( E \) chia \( AC \) theo tỉ lệ \( \frac{2}{3} \), ta có:
\[
AE = \frac{2}{3} AC
\]

Vậy \( AI \) là một phần của \( AE \), và \( AM \) là toàn bộ đoạn thẳng từ \( A \) đến \( M \). Vì \( I \) nằm trên \( DE \), và \( DE \) là một phần của tam giác \( ADE \), nên \( AI < AM \).

Tóm lại:
\[
AI < AM
\]