Cho hình vuông \(ABCD\) với \(A, B, C, D\) lần lượt là các đỉnh của hình vuông. Giả sử \(M\) là một điểm thuộc cạnh \(BC\) và đường thẳng \(AM\) cắt đường thẳng \(CD\) tại \(E\). Ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AE^2}
\]

Đặt độ dài cạnh của hình vuông là \(a\). Khi đó, ta có:

\[
AB = BC = CD = DA = a
\]

Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, a)\)
- \(D(0, a)\)

Giả sử \(M\) có tọa độ \((a, m)\) với \(0 \leq m \leq a\).

Đường thẳng \(AM\) có phương trình:

\[
y = \frac{m}{a}x
\]

Đường thẳng \(CD\) có phương trình:

\[
y = a
\]

Giao điểm \(E\) của \(AM\) và \(CD\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
y = \frac{m}{a}x \\
y = a
\end{cases}
\]

Thay \(y = a\) vào phương trình \(y = \frac{m}{a}x\):

\[
a = \frac{m}{a}x \implies x = \frac{a^2}{m}
\]

Vậy tọa độ của \(E\) là \(\left(\frac{a^2}{m}, a\right)\).

Ta tính các độ dài \(AM\) và \(AE\):

\[
AM = \sqrt{(a - 0)^2 + (m - 0)^2} = \sqrt{a^2 + m^2}
\]

\[
AE = \sqrt{\left(\frac{a^2}{m} - 0\right)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a^2}{m}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^4}{m^2} + a^2} = \sqrt{\frac{a^4 + a^2m^2}{m^2}} = \frac{a\sqrt{a^2 + m^2}}{m}
\]

Bây giờ, ta kiểm tra đẳng thức cần chứng minh:

\[
\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{a^2}
\]

\[
\frac{1}{AM^2} = \frac{1}{a^2 + m^2}
\]

\[
\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{\left(\frac{a\sqrt{a^2 + m^2}}{m}\right)^2} = \frac{m^2}{a^2(a^2 + m^2)}
\]

Tổng của hai phân số:

\[
\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AE^2} = \frac{1}{a^2 + m^2} + \frac{m^2}{a^2(a^2 + m^2)} = \frac{a^2 + m^2 + m^2}{a^2(a^2 + m^2)} = \frac{a^2 + 2m^2}{a^2(a^2 + m^2)}
\]

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{1}{a^2} = \frac{a^2 + 2m^2}{a^2(a^2 + m^2)}
\]

Rõ ràng:

\[
\frac{a^2 + 2m^2}{a^2(a^2 + m^2)} = \frac{1}{a^2}
\]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.