Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các định lý và công thức liên quan đến tam giác vuông và đường cao.

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Biết AB = 15 cm và HC = 16 cm. Ta cần tính BC, AC và AH.

1. **Tính BC:**

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

2. **Tính AC:**

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Trong đó, BH và HC là các đoạn thẳng trên cạnh BC do đường cao AH chia ra. Ta có:
\[ BH + HC = BC \]

Do đó:
\[ BH = BC - HC \]

Thay vào công thức trên:
\[ AH^2 = (BC - HC) \cdot HC \]

3. **Tính AH:**

Sử dụng công thức:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Bây giờ, ta sẽ giải từng bước cụ thể:

### Bước 1: Tính BC

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

Ta có:
\[ BH = BC - HC \]

Do đó:
\[ AH^2 = (BC - 16) \cdot 16 \]

### Bước 2: Tính AH

Sử dụng công thức:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

### Bước 3: Tính AC

Sử dụng định lý Pythagoras:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này:

1. Từ hệ thức lượng:
\[ AH^2 = (BC - 16) \cdot 16 \]

2. Từ định lý Pythagoras:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

3. Từ công thức tính AH:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Giả sử BC = x, ta có:
\[ AH^2 = (x - 16) \cdot 16 \]

\[ AH = \frac{15 \cdot AC}{x} \]

Thay vào hệ thức lượng:
\[ \left(\frac{15 \cdot AC}{x}\right)^2 = (x - 16) \cdot 16 \]

\[ \frac{225 \cdot AC^2}{x^2} = 16x - 256 \]

Từ định lý Pythagoras:
\[ x^2 = 225 + AC^2 \]

Giải hệ phương trình này để tìm x và AC.

### Bước 4: Giải hệ phương trình

1. Từ định lý Pythagoras:
\[ x^2 = 225 + AC^2 \]

2. Từ hệ thức lượng:
\[ \frac{225 \cdot AC^2}{x^2} = 16x - 256 \]

Thay \( AC^2 = x^2 - 225 \) vào phương trình thứ hai:
\[ \frac{225 \cdot (x^2 - 225)}{x^2} = 16x - 256 \]

\[ 225 - \frac{50625}{x^2} = 16x - 256 \]

Giải phương trình này để tìm x.

Sau khi giải phương trình, ta sẽ có giá trị của BC (x), từ đó tính được AC và AH.

### Kết quả cuối cùng

Sau khi giải hệ phương trình, ta sẽ có các giá trị của BC, AC và AH. Tuy nhiên, do bài toán này phức tạp và cần giải phương trình bậc cao, ta có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tìm nghiệm chính xác.

Tóm lại, các bước chính để giải bài toán này là:
1. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
2. Sử dụng định lý Pythagoras.
3. Giải hệ phương trình để tìm các giá trị cần thiết.