Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( d: y = 2mx - m^2 + 3 \) cắt parabol \( y = x^2 \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x_1, x_2 \), ta cần giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
y = x^2 \\
y = 2mx - m^2 + 3
\end{cases}
\]

Thay \( y = 2mx - m^2 + 3 \) vào phương trình \( y = x^2 \), ta có:

\[
x^2 = 2mx - m^2 + 3
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta được phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 2mx + m^2 - 3 = 0
\]

Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là:

\[
\Delta > 0
\]

Với \(\Delta\) là biệt thức của phương trình bậc hai, ta có:

\[
\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 3) = 4m^2 - 4(m^2 - 3) = 4m^2 - 4m^2 + 12 = 12
\]

Vì \(\Delta = 12 > 0\), phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \( m \). Do đó, đường thẳng \( d \) luôn cắt parabol \( y = x^2 \) tại hai điểm phân biệt với mọi \( m \).

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của \( m \) để biểu thức \( A = (1 - x_1)(1 - x_2) + 2027 \) đạt giá trị nhỏ nhất. Theo định lý Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = m^2 - 3
\]

Do đó, biểu thức \( A \) có thể viết lại như sau:

\[
A = (1 - x_1)(1 - x_2) + 2027 = 1 - (x_1 + x_2) + x_1 x_2 + 2027 = 1 - 2m + (m^2 - 3) + 2027
\]

Rút gọn biểu thức, ta được:

\[
A = m^2 - 2m + 2025
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta xét hàm số \( f(m) = m^2 - 2m + 2025 \). Đây là một hàm bậc hai có dạng \( f(m) = am^2 + bm + c \) với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = 2025 \). Đỉnh của parabol này đạt giá trị nhỏ nhất tại:

\[
m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1
\]

Thay \( m = 1 \) vào \( f(m) \), ta có:

\[
A = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2025 = 1 - 2 + 2025 = 2024
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 2024 khi \( m = 1 \).