Để tính giá trị của biểu thức \((1 + \tan 1^\circ)(1 + \tan 2^\circ)(1 + \tan 3^\circ) \cdots (1 + \tan 45^\circ)\), ta có thể sử dụng một số tính chất đặc biệt của hàm số \(\tan\).

Đầu tiên, ta biết rằng \(\tan 45^\circ = 1\). Do đó, \(1 + \tan 45^\circ = 2\).

Bây giờ, ta xét các cặp góc bổ sung nhau, tức là các cặp góc có tổng bằng \(45^\circ\). Ví dụ:
- \(\tan 1^\circ\) và \(\tan 44^\circ\)
- \(\tan 2^\circ\) và \(\tan 43^\circ\)
- ...

Ta có tính chất:
\[ \tan (45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \]

Do đó:
\[ 1 + \tan (45^\circ - x) = 1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \frac{(1 + \tan x) + (1 - \tan x)}{1 + \tan x} = \frac{2}{1 + \tan x} \]

Vậy:
\[ (1 + \tan x)(1 + \tan (45^\circ - x)) = (1 + \tan x) \cdot \frac{2}{1 + \tan x} = 2 \]

Như vậy, mỗi cặp góc bổ sung nhau sẽ cho kết quả là 2. Có tổng cộng 22 cặp như vậy từ \((1^\circ, 44^\circ)\) đến \((22^\circ, 23^\circ)\), và thêm \((1 + \tan 45^\circ) = 2\).

Vậy, tích của tất cả các biểu thức sẽ là:
\[ 2^{22} \cdot 2 = 2^{23} \]

Do đó, \(2^n = 2^{23}\), nên \(n = 23\).

Vậy khoảng \([a, b]\) chứa \(n\) là \([23, 23]\).