Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. Trước tiên, chúng ta cần vẽ hình minh họa để dễ dàng theo dõi các bước chứng minh và tính toán.

### Vẽ hình minh họa:
1. Vẽ đường tròn tâm \( O \).
2. Vẽ đường thẳng \( d \) nằm ngoài đường tròn.
3. Chọn điểm \( M \) bất kỳ trên đường thẳng \( d \).
4. Từ \( M \), kẻ hai tiếp tuyến \( MB \) và \( MC \) với đường tròn, với \( B \) và \( C \) là các tiếp điểm.
5. Kẻ \( OA \) vuông góc với đường thẳng \( d \) tại \( A \).
6. Kẻ \( OM \) cắt \( BC \) tại \( H \).
7. Kẻ \( OA \) cắt \( BC \) tại \( K \).

### Phần 1: Chứng minh rằng bốn điểm \( H, K, A, M \) cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm \( I \) của đường tròn đó.
- Ta có \( MB = MC \) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài đường tròn).
- \( OB = OC \) (bán kính đường tròn).
- \( \angle OMB = \angle OMC \) (góc giữa hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn bằng nhau).

Xét tứ giác \( OBMC \):
- \( OB = OC \) và \( MB = MC \).
- \( \angle OMB = \angle OMC \).

Do đó, \( OBMC \) là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác \( OAHK \):
- \( OA \perp d \) tại \( A \), nên \( \angle OAK = 90^\circ \).
- \( OA \perp BC \) tại \( K \), nên \( \angle OAK = 90^\circ \).

Do đó, \( OAHK \) là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác \( HAKM \):
- \( \angle HAK = 90^\circ \) (do \( OA \perp d \) tại \( A \)).
- \( \angle HMA = 90^\circ \) (do \( MB \) và \( MC \) là tiếp tuyến).

Do đó, \( HAKM \) là tứ giác nội tiếp.

Tâm \( I \) của đường tròn đi qua \( H, K, A, M \) là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng \( HA \), \( KA \), \( MA \).

### Phần 2: Chứng minh \( OA \cdot OK = OB^2 \) và \( OE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (I) \).
- Ta có \( OA \perp d \) tại \( A \), nên \( \angle OAK = 90^\circ \).
- \( OK \) là đường kính của đường tròn \( (I) \).

Do đó, \( OA \cdot OK = OB^2 \).

Để chứng minh \( OE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (I) \):
- \( E \) là giao điểm của đường tròn \( (O) \) và \( (I) \).
- \( OE \) vuông góc với bán kính tại \( E \).

Do đó, \( OE \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (I) \).

### Phần 3: Tìm vị trí của điểm \( M \) trên đường thẳng \( d \) để diện tích tam giác \( OKH \) lớn nhất.
- Diện tích tam giác \( OKH \) phụ thuộc vào độ dài các đoạn thẳng \( OK \) và \( KH \).
- Để diện tích tam giác \( OKH \) lớn nhất, \( M \) phải nằm trên đường thẳng \( d \) sao cho \( K \) và \( H \) tạo thành một tam giác cân tại \( K \).

Do đó, vị trí của \( M \) trên đường thẳng \( d \) để diện tích tam giác \( OKH \) lớn nhất là khi \( M \) nằm sao cho \( K \) và \( H \) tạo thành một tam giác cân tại \( K \).

Hy vọng các bước trên giúp bạn hiểu rõ cách giải bài toán này.