Để tìm số tự nhiên \( a \) lớn hơn 30 sao cho 612 và 680 đều chia hết cho \( a \), ta cần tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 612 và 680. Sau đó, ta sẽ kiểm tra các ước của ƯCLN để tìm ra số lớn hơn 30.

Bước 1: Tìm ƯCLN của 612 và 680.

Phân tích 612 và 680 ra thừa số nguyên tố:
- 612:
\[
612 = 2^2 \times 3^2 \times 17
\]

- 680:
\[
680 = 2^3 \times 5 \times 17
\]

Bước 2: Tìm ƯCLN của 612 và 680 bằng cách lấy các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất:
- Thừa số chung: \( 2 \) và \( 17 \)
- Số mũ nhỏ nhất của \( 2 \) là \( 2 \)
- Số mũ nhỏ nhất của \( 17 \) là \( 1 \)

Vậy:
\[
ƯCLN(612, 680) = 2^2 \times 17 = 4 \times 17 = 68
\]

Bước 3: Kiểm tra các ước của 68 để tìm số lớn hơn 30:
- Các ước của 68: \( 1, 2, 4, 17, 34, 68 \)

Trong các ước này, các số lớn hơn 30 là: \( 34 \) và \( 68 \).

Vậy các số tự nhiên \( a \) lớn hơn 30 mà 612 và 680 đều chia hết là \( 34 \) và \( 68 \).