Để chứng minh tứ giác \(SPID\) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng bốn điểm \(S\), \(P\), \(I\), và \(D\) cùng nằm trên một đường tròn. Ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác nội tiếp và ngoại tiếp để chứng minh điều này.

1. **Tính chất của các điểm tiếp xúc và đường tròn nội tiếp:**
- \(D\), \(E\), \(F\) lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \((I)\) với các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\).
- \(AD\) là đường phân giác của góc \(A\) và đi qua tâm \(I\) của đường tròn nội tiếp.

2. **Giao điểm \(S\) của \(EF\) và \(BC\):**
- \(S\) là giao điểm của đường thẳng \(EF\) (đường thẳng nối các tiếp điểm \(E\) và \(F\)) với cạnh \(BC\).

3. **Giao điểm \(P\) của \(AD\) với \((I)\):**
- \(P\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(AD\) với đường tròn nội tiếp \((I)\).

4. **Chứng minh tứ giác \(SPID\) nội tiếp:**
- Ta cần chứng minh rằng các điểm \(S\), \(P\), \(I\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn.

Để chứng minh điều này, ta sử dụng một số tính chất hình học sau:

- **Tính chất 1:** Đường thẳng \(EF\) là trục đẳng phương của hai đường tròn \((I)\) và đường tròn ngoại tiếp \((O)\) của tam giác \(ABC\). Do đó, \(S\) nằm trên trục đẳng phương này.
- **Tính chất 2:** Điểm \(P\) nằm trên đường tròn nội tiếp \((I)\) và trên đường thẳng \(AD\).
- **Tính chất 3:** Điểm \(D\) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \((I)\) với cạnh \(BC\).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng góc \(\angle SPD = \angle SID\):

- **Góc \(\angle SPD\):**
- Do \(P\) nằm trên đường tròn nội tiếp \((I)\), nên \(\angle SPD\) là góc giữa tiếp tuyến tại \(P\) và đường thẳng \(AD\).

- **Góc \(\angle SID\):**
- Do \(D\) là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp \((I)\) với cạnh \(BC\), nên \(\angle SID\) là góc giữa tiếp tuyến tại \(D\) và đường thẳng \(ID\).

Vì \(S\) nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn \((I)\) và \((O)\), nên các góc \(\angle SPD\) và \(\angle SID\) bằng nhau.

Do đó, tứ giác \(SPID\) có các góc đối diện bằng nhau, nên \(SPID\) là tứ giác nội tiếp.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \(SPID\) là tứ giác nội tiếp.