Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về tỷ số diện tích tam giác và các định lý về đường trung tuyến, đường phân giác.

**A. Tìm tỷ số diện tích tam giác BCM và BAM**

1. Gọi \( S \) là diện tích tam giác \( ABC \).
2. Vì \( AM = \frac{2}{3}AC \), nên \( MC = \frac{1}{3}AC \).
3. Diện tích tam giác \( BAM \) là \( \frac{2}{3} \) diện tích tam giác \( BAC \) vì \( AM = \frac{2}{3}AC \).

Do đó, diện tích tam giác \( BAM \) là \( \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{2}{3}S \).

4. Diện tích tam giác \( BCM \) là \( \frac{1}{3} \) diện tích tam giác \( BAC \) vì \( MC = \frac{1}{3}AC \).

Do đó, diện tích tam giác \( BCM \) là \( \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times AC \times h = \frac{1}{3}S \).

Tỷ số diện tích tam giác \( BCM \) và \( BAM \) là:
\[ \frac{\text{Diện tích tam giác } BCM}{\text{Diện tích tam giác } BAM} = \frac{\frac{1}{3}S}{\frac{2}{3}S} = \frac{1}{2} \]

**B. Biết diện tích tam giác AMN là 18 cm². Tính diện tích tam giác ABC.**

1. Trên BM lấy N sao cho \( BN = \frac{2}{3}BM \), nên \( NM = \frac{1}{3}BM \).
2. Diện tích tam giác \( AMN \) là \( \frac{2}{3} \) diện tích tam giác \( ABM \) vì \( BN = \frac{2}{3}BM \).

Do đó, diện tích tam giác \( AMN \) là \( \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}S = \frac{4}{9}S \).

3. Ta có diện tích tam giác \( AMN = 18 \) cm², nên:
\[ \frac{4}{9}S = 18 \]
\[ S = 18 \times \frac{9}{4} = 40.5 \text{ cm}^2 \]

Vậy diện tích tam giác \( ABC \) là \( 40.5 \) cm².

**C. Kéo dài AN cắt BC tại D. So sánh BD và DC**

1. Gọi \( D \) là giao điểm của \( AN \) và \( BC \).
2. Ta có \( AM = \frac{2}{3}AC \) và \( BN = \frac{2}{3}BM \).
3. Theo định lý Menelaus cho tam giác \( ABC \) với đường thẳng \( AND \):
\[ \frac{BD}{DC} \times \frac{CN}{NA} \times \frac{AM}{MB} = 1 \]

4. Ta có \( AM = \frac{2}{3}AC \) nên \( \frac{AM}{MC} = \frac{2}{1} \).
5. Ta có \( BN = \frac{2}{3}BM \) nên \( \frac{BN}{NM} = \frac{2}{1} \).

Do đó, \( \frac{BD}{DC} \times \frac{2}{1} \times \frac{2}{1} = 1 \).

\[ \frac{BD}{DC} \times 4 = 1 \]
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{1}{4} \]

Vậy \( BD = \frac{1}{4}DC \).