Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các định lý hình học cơ bản.

**a) Chứng minh rằng ΔDNF cân**

Xét tam giác đều DEF, ta có:
- DE = DF = EF
- Góc D = Góc E = Góc F = 60 độ

Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF tại M, do đó:
- Góc DEM = Góc MEF = 30 độ

Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P. Do đó:
- DN vuông góc với DE

Xét tam giác DNF:
- Góc DNF là góc giữa DN và NF
- DN vuông góc với DE, nên Góc DNF = 90 độ - Góc ENF

Vì tam giác DEF đều, nên:
- Góc ENF = 30 độ (do EM là phân giác của góc E)

Do đó:
- Góc DNF = 90 độ - 30 độ = 60 độ

Xét tam giác DNF, ta có:
- Góc DNF = 60 độ
- Góc D = 60 độ (vì tam giác DEF đều)

Vậy tam giác DNF có hai góc bằng nhau (Góc DNF = Góc D), nên tam giác DNF cân tại N.

**b) Chứng minh rằng NF vuông góc với EF**

Xét tam giác DEF đều, ta có:
- DE = DF = EF
- Góc D = Góc E = Góc F = 60 độ

Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF tại M, do đó:
- Góc DEM = Góc MEF = 30 độ

Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P. Do đó:
- DN vuông góc với DE

Xét tam giác DEF đều, ta có:
- Góc DEF = 60 độ

Do đó:
- Góc NFE = 90 độ - Góc DEF = 90 độ - 60 độ = 30 độ

Vì tam giác DEF đều, nên:
- Góc ENF = 30 độ (do EM là phân giác của góc E)

Do đó:
- Góc NFE + Góc ENF = 30 độ + 30 độ = 60 độ

Vì tam giác DEF đều, nên:
- Góc F = 60 độ

Do đó:
- Góc NFE + Góc ENF = Góc F

Vậy NF vuông góc với EF.

**c) Chứng minh rằng ΔDEP cân**

Xét tam giác DEF đều, ta có:
- DE = DF = EF
- Góc D = Góc E = Góc F = 60 độ

Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF tại M, do đó:
- Góc DEM = Góc MEF = 30 độ

Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, đường thẳng này cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P. Do đó:
- DN vuông góc với DE

Xét tam giác DEP:
- DE = DP (vì tam giác DEF đều và P nằm trên EF)

Do đó:
- Tam giác DEP cân tại D.

Vậy ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.