Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

### Phần a: Chứng minh tam giác ABE cân

1. **Giả thiết:**
- Tam giác ABC nhọn, AB < AC.
- AD là đường cao từ A xuống BC.
- Điểm E nằm trên đoạn DC sao cho DB = DE.

2. **Chứng minh:**
- Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên AD vuông góc với BC tại D.
- DB = DE (theo giả thiết).
- Xét tam giác ABD và tam giác AED:
- AD là cạnh chung.
- DB = DE (theo giả thiết).
- Góc ADB = Góc ADE = 90° (vì AD là đường cao).
- Do đó, tam giác ABD và tam giác AED bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).
- Suy ra, AB = AE và góc BAD = góc EAD.
- Vậy tam giác ABE cân tại A.

### Phần b: Chứng minh ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại một điểm

1. **Giả thiết:**
- E nằm trên đoạn DC sao cho DB = DE.
- Từ E kẻ EF vuông góc với AC (F thuộc AC).
- Từ C kẻ CK vuông góc với AE (K thuộc AE).

2. **Chứng minh:**
- Xét tam giác ABE cân tại A (đã chứng minh ở phần a).
- Vì tam giác ABE cân tại A, nên góc BAE = góc EAB.
- EF vuông góc với AC tại F, nên EF là đường cao của tam giác AEC.
- CK vuông góc với AE tại K, nên CK là đường cao của tam giác AEC.
- Trong tam giác AEC, AD cũng là đường cao (vì AD vuông góc với BC và D nằm trên BC).
- Do đó, AD, EF và CK đều là các đường cao của tam giác AEC.
- Theo tính chất của tam giác, ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm, gọi là trực tâm của tam giác.

Vậy, ba đường thẳng AD, EF và CK đồng quy tại trực tâm của tam giác AEC.