Để chứng minh rằng biểu thức \( A = -x^2 + 6x - 15 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \), chúng ta cần phân tích biểu thức này và xác định giá trị lớn nhất của nó.

Biểu thức \( A = -x^2 + 6x - 15 \) là một hàm bậc hai có dạng \( A = ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 6 \), và \( c = -15 \).

Đầu tiên, ta tìm tọa độ đỉnh của parabol. Đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) có tọa độ \( x = -\frac{b}{2a} \).

Với \( a = -1 \) và \( b = 6 \), ta có:
\[ x = -\frac{6}{2(-1)} = \frac{6}{2} = 3 \]

Giá trị của hàm số tại đỉnh là:
\[ A(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 15 \]
\[ A(3) = -9 + 18 - 15 \]
\[ A(3) = -6 \]

Vì hệ số \( a = -1 \) là âm, parabol mở xuống, do đó giá trị lớn nhất của hàm số \( A = -x^2 + 6x - 15 \) là giá trị tại đỉnh, tức là \( A(3) = -6 \).

Vì giá trị lớn nhất của \( A \) là -6, và -6 là một số âm, nên biểu thức \( A = -x^2 + 6x - 15 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng biểu thức \( A = -x^2 + 6x - 15 \) luôn âm với mọi giá trị của \( x \).