Để giải phương trình \( \cos^2(x) + 2020 \sin^{2020}(x) = 2020 \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình**:
\[
\cos^2(x) + 2020 \sin^{2020}(x) = 2020
\]

2. **Nhận xét về giá trị của các hàm số**:
- Ta biết rằng \( \cos^2(x) \leq 1 \) cho mọi \( x \).
- Do đó, \( 2020 \sin^{2020}(x) \) phải đạt giá trị lớn nhất khi \( \cos^2(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất, tức là \( \cos^2(x) = 0 \).

3. **Xét trường hợp \( \cos^2(x) = 0 \)**:
- Khi \( \cos^2(x) = 0 \), ta có \( \cos(x) = 0 \).
- Điều này xảy ra khi \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

4. **Thay \( \cos(x) = 0 \) vào phương trình ban đầu**:
\[
0 + 2020 \sin^{2020}(x) = 2020
\]
\[
2020 \sin^{2020}(x) = 2020
\]
\[
\sin^{2020}(x) = 1
\]
\[
\sin(x) = \pm 1
\]

5. **Giải phương trình \( \sin(x) = \pm 1 \)**:
- \( \sin(x) = 1 \) khi \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
- \( \sin(x) = -1 \) khi \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}.
\]