Để chứng minh góc \( \angle BAC = 45^\circ \) khi \( AH = BC \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với \( H \) là trực tâm, ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt vấn đề và các giả thiết:**
- Tam giác \( ABC \) là tam giác nhọn.
- \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \).
- \( AH = BC \).

2. **Nhắc lại một số tính chất quan trọng:**
- Trực tâm \( H \) của tam giác là giao điểm của ba đường cao.
- Đường cao \( AH \) vuông góc với \( BC \) tại \( H \).

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \), ta có:
\[
AH \perp BC
\]
- Do \( AH \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta có:
\[
AH = BC
\]

4. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:**
- Xét tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \):
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]

5. **Sử dụng điều kiện \( AH = BC \):**
- Do \( AH = BC \), ta có:
\[
AH = a
\]
\[
BC = a
\]

6. **Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác \( ABC \):**
- Xét tam giác \( ABC \):
\[
AB^2 + AC^2 = 2AH^2
\]
- Vì \( AH = BC \), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = 2BC^2
\]

7. **Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ABC \):**
- Xét tam giác \( ABC \):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]
- Thay \( BC = AH \) và \( AH = BC \):
\[
a^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]
- Từ bước 6, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = 2a^2
\]
- Thay vào phương trình trên:
\[
a^2 = 2a^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]
- Đơn giản hóa:
\[
a^2 = 2a^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]
\[
2AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) = a^2
\]
\[
\cos(\angle BAC) = \frac{a^2}{2AB \cdot AC}
\]

8. **Kết luận:**
- Do tam giác \( ABC \) là tam giác nhọn và \( \cos(\angle BAC) = \frac{1}{\sqrt{2}} \), ta có:
\[
\angle BAC = 45^\circ
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng khi \( AH = BC \), thì \( \angle BAC = 45^\circ \).