Để phân tích các đa thức thành nhân tử, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp như nhóm các hạng tử, tìm nghiệm của đa thức, và sử dụng các công thức phân tích đa thức.

a) \(6x^3 + x^2 + x + 1\)

Đầu tiên, chúng ta thử nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[6x^3 + x^2 + x + 1 = (6x^3 + x^2) + (x + 1)\]

Bây giờ, chúng ta xem xét từng nhóm:

\[6x^3 + x^2 = x^2(6x + 1)\]
\[x + 1\]

Tuy nhiên, chúng ta không thể nhóm các hạng tử này lại để tạo ra một nhân tử chung. Vì vậy, chúng ta thử tìm nghiệm của đa thức bằng cách sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ (Rational Root Theorem).

Giả sử \(P(x) = 6x^3 + x^2 + x + 1\). Theo định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm hữu tỉ của đa thức có dạng \(\frac{p}{q}\), trong đó \(p\) là ước của hệ số tự do (1) và \(q\) là ước của hệ số cao nhất (6).

Các ước của 1 là: \(\pm 1\)
Các ước của 6 là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)

Vì vậy, các nghiệm hữu tỉ có thể là: \(\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}\)

Chúng ta thử từng nghiệm:

- \(P(1) = 6(1)^3 + (1)^2 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 9 \neq 0\)
- \(P(-1) = 6(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -6 + 1 - 1 + 1 = -5 \neq 0\)
- \(P(\frac{1}{2}) = 6(\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = 6 \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \neq 0\)

Vì không có nghiệm hữu tỉ nào thỏa mãn, chúng ta không thể phân tích đa thức này thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường.

b) \(4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\)

Chúng ta cũng thử nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (4x^3 + 6x^2) + (4x + 1)\]

Bây giờ, chúng ta xem xét từng nhóm:

\[4x^3 + 6x^2 = 2x^2(2x + 3)\]
\[4x + 1\]

Tuy nhiên, chúng ta không thể nhóm các hạng tử này lại để tạo ra một nhân tử chung. Vì vậy, chúng ta thử tìm nghiệm của đa thức bằng cách sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ (Rational Root Theorem).

Giả sử \(Q(x) = 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\). Theo định lý nghiệm hữu tỉ, các nghiệm hữu tỉ của đa thức có dạng \(\frac{p}{q}\), trong đó \(p\) là ước của hệ số tự do (1) và \(q\) là ước của hệ số cao nhất (4).

Các ước của 1 là: \(\pm 1\)
Các ước của 4 là: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4\)

Vì vậy, các nghiệm hữu tỉ có thể là: \(\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}\)

Chúng ta thử từng nghiệm:

- \(Q(1) = 4(1)^3 + 6(1)^2 + 4(1) + 1 = 4 + 6 + 4 + 1 = 15 \neq 0\)
- \(Q(-1) = 4(-1)^3 + 6(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -4 + 6 - 4 + 1 = -1 \neq 0\)
- \(Q(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{2})^3 + 6(\frac{1}{2})^2 + 4(\frac{1}{2}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 6 \cdot \frac{1}{4} + 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 2 + 1 = 5 \neq 0\)

Vì không có nghiệm hữu tỉ nào thỏa mãn, chúng ta không thể phân tích đa thức này thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường.

Tóm lại, cả hai đa thức \(6x^3 + x^2 + x + 1\) và \(4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\) đều không thể phân tích thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường như nhóm các hạng tử hay tìm nghiệm hữu tỉ.