Để chứng minh bất đẳng thức \( a < \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} < b \) với \( 0 < a < b \), chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bất đẳng thức này.

1. **Chứng minh \( a < \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \)**

Ta có:
\[
\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}
\]

Cần chứng minh:
\[
a < \frac{2ab}{a + b}
\]

Nhân cả hai vế với \( a + b \):
\[
a(a + b) < 2ab
\]

Tương đương:
\[
a^2 + ab < 2ab
\]

Tương đương:
\[
a^2 < ab
\]

Tương đương:
\[
a < b
\]

Điều này đúng vì \( 0 < a < b \).

2. **Chứng minh \( \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \sqrt{ab} \)**

Ta có:
\[
\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}
\]

Cần chứng minh:
\[
\frac{2ab}{a + b} < \sqrt{ab}
\]

Nhân cả hai vế với \( a + b \):
\[
2ab < \sqrt{ab}(a + b)
\]

Chia cả hai vế cho \( \sqrt{ab} \):
\[
2\sqrt{ab} < a + b
\]

Điều này đúng vì \( \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \) (bất đẳng thức AM-GM).

3. **Chứng minh \( \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} \)**

Bất đẳng thức này là một phần của bất đẳng thức AM-GM:
\[
\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}
\]

Vì \( a \neq b \), nên \( \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} \).

4. **Chứng minh \( \frac{a + b}{2} < b \)**

Cần chứng minh:
\[
\frac{a + b}{2} < b
\]

Nhân cả hai vế với 2:
\[
a + b < 2b
\]

Tương đương:
\[
a < b
\]

Điều này đúng vì \( 0 < a < b \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
a < \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} < \sqrt{ab} < \frac{a + b}{2} < b
\]