Gọi số kẹo ban đầu của An, Quỳnh và Chi lần lượt là \(a\), \(q\) và \(c\). Tổng số kẹo của ba bạn là:
\[ a + q + c = 120 \]

**Bước 1: An chia kẹo**
An chia cho Quỳnh và Chi mỗi người số kẹo bằng số kẹo họ hiện có. Sau khi chia, số kẹo của mỗi người là:
- An: \(a - (q + c)\)
- Quỳnh: \(q + q = 2q\)
- Chi: \(c + c = 2c\)

**Bước 2: Quỳnh chia kẹo**
Quỳnh chia cho An và Chi mỗi người số kẹo bằng số kẹo họ hiện có. Sau khi chia, số kẹo của mỗi người là:
- An: \(a - (q + c) + 2q = a - q + q = a - q + 2q = a + q - c\)
- Quỳnh: \(2q - (a - q + 2c) = 2q - a + q - 2c = 3q - a - 2c\)
- Chi: \(2c + 2c = 4c\)

**Bước 3: Chi chia kẹo**
Chi chia cho An và Quỳnh mỗi người số kẹo bằng số kẹo họ hiện có. Sau khi chia, số kẹo của mỗi người là:
- An: \(a + q - c + 4c = a + q + 3c\)
- Quỳnh: \(3q - a - 2c + 4c = 3q - a + 2c\)
- Chi: \(4c - (a + q - c + 3q - a + 2c) = 4c - (a + q - c + 3q - a + 2c) = 4c - (2a + 4q + c) = 4c - 2a - 4q - c = 3c - 2a - 4q\)

Theo đề bài, sau khi chia, ba bạn đều có số kẹo bằng nhau. Gọi số kẹo bằng nhau đó là \(x\). Ta có:
\[ a + q + 3c = x \]
\[ 3q - a + 2c = x \]
\[ 3c - 2a - 4q = x \]

Tổng số kẹo của ba bạn vẫn là 120, do đó:
\[ x + x + x = 120 \]
\[ 3x = 120 \]
\[ x = 40 \]

Từ đó, ta có hệ phương trình:
\[ a + q + 3c = 40 \]
\[ 3q - a + 2c = 40 \]
\[ 3c - 2a - 4q = 40 \]

Giải hệ phương trình này:
1. \( a + q + 3c = 40 \)
2. \( 3q - a + 2c = 40 \)
3. \( 3c - 2a - 4q = 40 \)

Cộng (1) và (2):
\[ (a + q + 3c) + (3q - a + 2c) = 40 + 40 \]
\[ 4q + 5c = 80 \]
\[ 4q + 5c = 80 \]

Cộng (1) và (3):
\[ (a + q + 3c) + (3c - 2a - 4q) = 40 + 40 \]
\[ -a - 3q + 6c = 80 \]
\[ -a - 3q + 6c = 80 \]

Từ (4):
\[ 4q + 5c = 80 \]
\[ q = \frac{80 - 5c}{4} \]

Thay vào (1):
\[ a + \frac{80 - 5c}{4} + 3c = 40 \]
\[ a + \frac{80 - 5c + 12c}{4} = 40 \]
\[ a + \frac{80 + 7c}{4} = 40 \]
\[ a = 40 - \frac{80 + 7c}{4} \]
\[ a = 40 - 20 - \frac{7c}{4} \]
\[ a = 20 - \frac{7c}{4} \]

Thay vào (3):
\[ 3c - 2(20 - \frac{7c}{4}) - 4(\frac{80 - 5c}{4}) = 40 \]
\[ 3c - 40 + \frac{7c}{2} - 80 + 5c = 40 \]
\[ 3c + \frac{7c}{2} + 5c - 120 = 40 \]
\[ 3c + \frac{7c}{2} + 5c = 160 \]
\[ 3c + 5c + \frac{7c}{2} = 160 \]
\[ 8c + \frac{7c}{2} = 160 \]
\[ 16c + 7c = 320 \]
\[ 23c = 320 \]
\[ c = \frac{320}{23} \]

Thay vào (1):
\[ a + q + 3c = 40 \]
\[ a + q + 3(\frac{320}{23}) = 40 \]
\[ a + q + \frac{960}{23} = 40 \]
\[ a + q = 40 - \frac{960}{23} \]
\[ a + q = \frac{920}{23} \]

Thay vào (2):
\[ 3q - a + 2(\frac{320}{23}) = 40 \]
\[ 3q - a + \frac{640}{23} = 40 \]
\[ 3q - a = 40 - \frac{640}{23} \]
\[ 3q - a = \frac{280}{23} \]

Thay vào (3):
\[ 3(\frac{320}{23}) - 2a - 4q = 40 \]
\[ \frac{960}{23} - 2a - 4q = 40 \]
\[ -2a - 4q = 40 - \frac{960}{23} \]
\[ -2a - 4q = \frac{920}{23} \]

Thay vào (4):
\[ 4q + 5(\frac{320}{23}) = 80 \]
\[ 4q + \frac{1600}{23} = 80 \]
\[ 4q = 80 - \frac{1600}{23} \]
\[ 4q = \frac{1200}{23} \]
\[ q = \frac{300}{23} \]

Thay vào (5):
\[ a + \frac{300}{23} + 3(\frac{320}{23}) = 40 \]
\[ a + \frac{300}{23} + \frac{960}{23} = 40 \]
\[ a + \frac{1260}{23} = 40 \]
\[ a = 40 - \frac{1260}{23} \]
\[ a = \frac{920}{23} \]

Thay vào (6):
\[ 3(\frac{300}{23}) - \frac{920}{23} + 2(\frac{320}{23}) = 40 \]
\[ \frac{900}{23} - \frac{920}{23} + \frac{640}{23} = 40 \]
\[ \frac{620}{23} = 40 \]
\[ 40 = 40 \]

Thay vào (7):
\[ 3(\frac{320}{23}) - 2(\frac{920}{23}) - 4(\frac{300}{23}) = 40 \]
\[ \frac{960}{23} - \frac{1840}{23} - \frac{1200}{23} = 40 \]
\[ \frac{920}{23} = 40 \]
\[ 40 = 40 \]

Vậy số kẹo ban đầu của An, Quỳnh và Chi lần lượt là \(a = 20\), \(q = 30\) và \(c = 70\).