Gọi số sách ban đầu ở ngăn thứ nhất, ngăn thứ hai và ngăn thứ ba lần lượt là \( x \), \( y \), và \( z \).

Theo đề bài, ta có phương trình tổng số sách:
\[ x + y + z = 210 \]

Sau khi chuyển 20 cuốn sách từ ngăn thứ nhất sang ngăn thứ hai, số sách ở ngăn thứ nhất và ngăn thứ hai sẽ là:
\[ x - 20 \]
\[ y + 20 \]

Sau đó, chuyển 50 cuốn sách từ ngăn thứ hai sang ngăn thứ ba, số sách ở ngăn thứ hai và ngăn thứ ba sẽ là:
\[ (y + 20) - 50 = y - 30 \]
\[ z + 50 \]

Theo đề bài, số sách ở ngăn thứ ba lúc này gấp đôi số sách ở ngăn thứ hai:
\[ z + 50 = 2(y - 30) \]
\[ z + 50 = 2y - 60 \]
\[ z = 2y - 110 \]

Và số sách ở ngăn thứ hai lúc này gấp đôi số sách ở ngăn thứ nhất:
\[ y - 30 = 2(x - 20) \]
\[ y - 30 = 2x - 40 \]
\[ y = 2x - 10 \]

Bây giờ, ta có hệ phương trình:
1. \( x + y + z = 210 \)
2. \( z = 2y - 110 \)
3. \( y = 2x - 10 \)

Thay phương trình (3) vào phương trình (2):
\[ z = 2(2x - 10) - 110 \]
\[ z = 4x - 20 - 110 \]
\[ z = 4x - 130 \]

Thay \( y \) và \( z \) vào phương trình (1):
\[ x + (2x - 10) + (4x - 130) = 210 \]
\[ x + 2x - 10 + 4x - 130 = 210 \]
\[ 7x - 140 = 210 \]
\[ 7x = 350 \]
\[ x = 50 \]

Thay \( x = 50 \) vào phương trình \( y = 2x - 10 \):
\[ y = 2(50) - 10 \]
\[ y = 100 - 10 \]
\[ y = 90 \]

Thay \( x = 50 \) vào phương trình \( z = 4x - 130 \):
\[ z = 4(50) - 130 \]
\[ z = 200 - 130 \]
\[ z = 70 \]

Vậy, số sách ban đầu ở mỗi ngăn là:
- Ngăn thứ nhất: 50 cuốn
- Ngăn thứ hai: 90 cuốn
- Ngăn thứ ba: 70 cuốn