Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### Phần a:
Chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle DAC \) và suy ra \( AD^2 = AB \cdot DC \).

1. **Chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle DAC \):**

- \( \angle A = \angle D = 90^\circ \) (giả thiết).
- \( \angle AIB = \angle DIC = 90^\circ \) (AC và BD vuông góc tại I).

Do đó, \( \triangle ABD \) và \( \triangle DAC \) đều có hai góc vuông và một góc chung là \( \angle AIB \), nên hai tam giác này đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA).

2. **Suy ra \( AD^2 = AB \cdot DC \):**

Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có:
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DC}{AD}
\]
Nhân chéo lên, ta được:
\[
AD^2 = AB \cdot DC
\]

### Phần b:
Gọi \( E \) là hình chiếu của \( B \) xuống \( DC \) và \( O \) là trung điểm của \( BD \). Chứng minh ba điểm \( A \), \( O \), \( E \) thẳng hàng.

1. **Chứng minh ba điểm \( A \), \( O \), \( E \) thẳng hàng:**

- \( E \) là hình chiếu của \( B \) xuống \( DC \), nên \( BE \perp DC \).
- \( A \) và \( D \) đều nằm trên đường thẳng vuông góc với \( DC \) (vì \( \angle A = \angle D = 90^\circ \)).
- \( O \) là trung điểm của \( BD \), nên \( O \) nằm trên đường trung trực của \( BD \).

Do đó, \( A \), \( O \), \( E \) đều nằm trên đường thẳng vuông góc với \( DC \), nên ba điểm này thẳng hàng.

### Phần c:
Tính tỉ số diện tích hai tam giác \( \triangle AIB \) và \( \triangle DIC \).

1. **Tính tỉ số diện tích:**

Do \( \triangle ABD \sim \triangle DAC \), ta có:
\[
\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle DAC}} = \left( \frac{AB}{DC} \right)^2
\]

Vì \( \triangle AIB \) và \( \triangle DIC \) đều có góc vuông tại \( I \) và chung chiều cao từ \( I \) đến \( AB \) và \( DC \), nên tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số diện tích của \( \triangle ABD \) và \( \triangle DAC \):
\[
\frac{S_{\triangle AIB}}{S_{\triangle DIC}} = \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle DAC}} = \left( \frac{AB}{DC} \right)^2
\]

### Phần d:
Chứng minh \( \triangle DAB \) đồng dạng với \( \triangle CBD \).

1. **Chứng minh \( \triangle DAB \sim \triangle CBD \):**

- \( \angle DAB = \angle CBD = 90^\circ \) (giả thiết).
- \( \angle ABD = \angle DBC \) (vì \( \triangle ABD \sim \triangle DAC \)).

Do đó, \( \triangle DAB \) và \( \triangle CBD \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA).

### Phần e:
Tính độ dài của \( DB \) và \( DC \).

1. **Tính độ dài của \( DB \):**

Giả sử \( AB = a \), \( AD = b \), \( DC = c \). Từ phần a, ta có:
\[
AD^2 = AB \cdot DC \implies b^2 = a \cdot c
\]

Do \( \triangle ABD \) và \( \triangle DAC \) đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AD}{DC} \implies \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \implies b^2 = a \cdot c
\]

Để tính \( DB \), ta sử dụng định lý Pythagore trong \( \triangle ABD \):
\[
DB^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2
\]

2. **Tính độ dài của \( DC \):**

Từ phần a, ta có:
\[
AD^2 = AB \cdot DC \implies b^2 = a \cdot c \implies c = \frac{b^2}{a}
\]

Vậy độ dài của \( DC \) là \( \frac{b^2}{a} \).

Tóm lại:
- \( DB = \sqrt{a^2 + b^2} \)
- \( DC = \frac{b^2}{a} \)