Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \( y = x^3 + x^2 + 2x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số:**

Đạo hàm bậc nhất:
\[
y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 2x + 2
\]

Đạo hàm bậc hai:
\[
y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x + 2) = 6x + 2
\]

2. **Tìm các điểm cực trị:**

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
3x^2 + 2x + 2 = 0
\]

Xét phương trình bậc hai \( 3x^2 + 2x + 2 = 0 \):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 4 - 24 = -20
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình \( 3x^2 + 2x + 2 = 0 \) không có nghiệm thực, do đó hàm số không có điểm cực trị.

3. **Xét tính đơn điệu của hàm số:**

Xét dấu của \( y' = 3x^2 + 2x + 2 \):
\[
3x^2 + 2x + 2 > 0 \quad \text{với mọi} \quad x \in \mathbb{R}
\]

Vì \( 3x^2 + 2x + 2 \) luôn dương với mọi \( x \), hàm số luôn đồng biến trên toàn bộ miền xác định \( \mathbb{R} \).

4. **Tìm giới hạn tại các điểm vô cùng:**

\[
\lim_{x \to \pm \infty} (x^3 + x^2 + 2x + 1) = \pm \infty
\]

5. **Tìm giao điểm với các trục tọa độ:**

- Giao điểm với trục \( Oy \) (tại \( x = 0 \)):
\[
y(0) = 0^3 + 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad (0, 1)
\]

- Giao điểm với trục \( Ox \) (tại \( y = 0 \)):
\[
x^3 + x^2 + 2x + 1 = 0
\]

Phương trình này có thể giải bằng cách thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ hoặc sử dụng phương pháp khác để tìm nghiệm. Tuy nhiên, việc tìm nghiệm chính xác có thể phức tạp và không cần thiết cho việc vẽ đồ thị sơ bộ.

6. **Vẽ đồ thị:**

- Đồ thị hàm số \( y = x^3 + x^2 + 2x + 1 \) là một đường cong liên tục, không có điểm cực trị và luôn đồng biến.
- Đồ thị cắt trục \( Oy \) tại điểm \( (0, 1) \).

Dưới đây là một phác thảo đồ thị của hàm số \( y = x^3 + x^2 + 2x + 1 \):

```
y
^
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
| /
|/
+----------------------> x
```

Để có đồ thị chính xác hơn, bạn có thể sử dụng các công cụ vẽ đồ thị trực tuyến hoặc phần mềm như GeoGebra, Desmos, hoặc các máy tính đồ thị.