Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính cạnh của hình vuông:**
- Diện tích của hình vuông là 169 cm².
- Gọi cạnh của hình vuông là \( a \).
- Ta có: \( a^2 = 169 \).
- Suy ra: \( a = \sqrt{169} = 13 \) cm.

2. **Tính chu vi của hình vuông:**
- Chu vi của hình vuông là \( 4a \).
- Thay \( a = 13 \) cm vào, ta có: \( 4 \times 13 = 52 \) cm.

3. **Tính chu vi của hình chữ nhật:**
- Chu vi của hình chữ nhật bằng chu vi của hình vuông, tức là 52 cm.
- Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( L \) và chiều rộng là \( W \).
- Ta có: \( W = \frac{1}{3}L \).
- Chu vi của hình chữ nhật là: \( 2(L + W) = 52 \).

4. **Giải phương trình để tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật:**
- Thay \( W = \frac{1}{3}L \) vào phương trình chu vi:
\[
2\left(L + \frac{1}{3}L\right) = 52
\]
- Đơn giản hóa phương trình:
\[
2\left(\frac{4}{3}L\right) = 52
\]
\[
\frac{8}{3}L = 52
\]
\[
L = \frac{52 \times 3}{8} = 19.5 \text{ cm}
\]

5. **Tính chiều rộng của hình chữ nhật:**
- \( W = \frac{1}{3}L = \frac{1}{3} \times 19.5 = 6.5 \text{ cm} \).

6. **Tính diện tích của hình chữ nhật:**
- Diện tích của hình chữ nhật là: \( L \times W \).
- Thay \( L = 19.5 \) cm và \( W = 6.5 \) cm vào:
\[
19.5 \times 6.5 = 126.75 \text{ cm}^2
\]

Vậy, diện tích của hình chữ nhật là \( 126.75 \) cm².