Để giải hệ phương trình:

\[ \begin{cases}
2x - y = 1 \\
x - 2y = 1
\end{cases} \]

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế. Ở đây, tôi sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

1. Nhân phương trình thứ hai với 2 để hệ số của \(x\) trong cả hai phương trình bằng nhau:

\[ \begin{cases}
2x - y = 1 \\
2(x - 2y) = 2 \cdot 1
\end{cases} \]

Tức là:

\[ \begin{cases}
2x - y = 1 \\
2x - 4y = 2
\end{cases} \]

2. Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:

\[ (2x - y) - (2x - 4y) = 1 - 2 \]

Tức là:

\[ 2x - y - 2x + 4y = -1 \]

\[ 3y = -1 \]

\[ y = -\frac{1}{3} \]

3. Thay giá trị của \(y\) vào phương trình đầu tiên để tìm \(x\):

\[ 2x - \left(-\frac{1}{3}\right) = 1 \]

\[ 2x + \frac{1}{3} = 1 \]

\[ 2x = 1 - \frac{1}{3} \]

\[ 2x = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \]

\[ 2x = \frac{2}{3} \]

\[ x = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ x = \frac{1}{3} \]

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là:

\[ \begin{cases}
x = \frac{1}{3} \\
y = -\frac{1}{3}
\end{cases} \]