Để chứng minh rằng \( A \) là tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác \( ODE \), ta cần chứng minh rằng \( A \) là điểm đẳng giác của tam giác \( ODE \). Điều này có nghĩa là \( A \) phải nằm trên các đường phân giác ngoài của các góc \( \angle ODE \), \( \angle DEO \), và \( \angle EOD \).

Trước tiên, ta cần nhắc lại một số tính chất quan trọng:
1. \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), do đó \( AH \) vuông góc với \( BC \).
2. Đường trung trực của đoạn thẳng \( AH \) sẽ đi qua trung điểm của \( AH \) và vuông góc với \( AH \).

Bây giờ, ta xét các điểm \( D \) và \( E \):
- \( D \) là giao điểm của đường trung trực của \( AH \) với \( AB \).
- \( E \) là giao điểm của đường trung trực của \( AH \) với \( AC \).

Do đường trung trực của \( AH \) vuông góc với \( AH \), nên \( D \) và \( E \) nằm trên đường trung trực của \( AH \).

Tiếp theo, ta xét tam giác \( ODE \):
- \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \), do đó \( OA = OB = OC \).
- \( D \) và \( E \) nằm trên đường trung trực của \( AH \), do đó \( AD = AE \).

Bây giờ, ta xét các đường phân giác ngoài của các góc \( \angle ODE \), \( \angle DEO \), và \( \angle EOD \):
- Đường phân giác ngoài của góc \( \angle ODE \) sẽ đi qua điểm \( A \) vì \( AD = AE \).
- Tương tự, đường phân giác ngoài của góc \( \angle DEO \) cũng sẽ đi qua điểm \( A \).
- Cuối cùng, đường phân giác ngoài của góc \( \angle EOD \) cũng sẽ đi qua điểm \( A \).

Do đó, \( A \) là điểm đẳng giác của tam giác \( ODE \), tức là \( A \) là tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác \( ODE \).

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( A \) là tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác \( ODE \).