Để giải phương trình \( P = 0 \) với \( P = 2a^{n+1} - 3a^n + 5a^{n+1} - 7a^n + 3a^{n+1} \), ta cần đơn giản hóa đa thức \( P \).

Trước tiên, ta gộp các hạng tử có cùng bậc của \( a \):

\[ P = (2a^{n+1} + 5a^{n+1} + 3a^{n+1}) + (-3a^n - 7a^n) \]

Gộp các hệ số của \( a^{n+1} \) và \( a^n \):

\[ P = (2 + 5 + 3)a^{n+1} + (-3 - 7)a^n \]

\[ P = 10a^{n+1} - 10a^n \]

Ta có thể viết lại phương trình này như sau:

\[ P = 10a^n(a - 1) \]

Để \( P = 0 \), ta cần \( 10a^n(a - 1) = 0 \).

Phương trình này sẽ bằng 0 khi và chỉ khi một trong các nhân tử của nó bằng 0. Do đó, ta có hai trường hợp:

1. \( 10a^n = 0 \)
2. \( a - 1 = 0 \)

Xét trường hợp 1: \( 10a^n = 0 \)

Vì \( 10 \neq 0 \), nên \( a^n = 0 \). Điều này chỉ xảy ra khi \( a = 0 \).

Xét trường hợp 2: \( a - 1 = 0 \)

Điều này xảy ra khi \( a = 1 \).

Vậy, các giá trị của \( a \) để \( P = 0 \) là \( a = 0 \) hoặc \( a = 1 \).

Kết luận: Với \( a = 0 \) hoặc \( a = 1 \), thì \( P = 0 \).