Để chứng minh rằng \( MI = IK = KN \) trong tam giác \( ABC \) với các đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học và trung điểm.

1. **Xác định các điểm trung điểm:**
- \( D \) là trung điểm của \( AC \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \).
- \( M \) là trung điểm của \( BE \).
- \( N \) là trung điểm của \( CD \).

2. **Xác định các giao điểm:**
- \( I \) là giao điểm của \( MN \) với \( BD \).
- \( K \) là giao điểm của \( MN \) với \( CE \).

3. **Sử dụng tính chất của trung điểm và đường trung tuyến:**
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BE \) và \( CD \) tương ứng, nên \( M \) và \( N \) chia \( BE \) và \( CD \) thành hai đoạn bằng nhau.
- \( BD \) và \( CE \) là các đường trung tuyến của tam giác \( ABC \), do đó chúng giao nhau tại trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \).

4. **Sử dụng tính chất của trọng tâm:**
- Trọng tâm \( G \) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \( 2:1 \). Nghĩa là, nếu \( G \) là trọng tâm thì \( BG = \frac{2}{3}BD \) và \( GD = \frac{1}{3}BD \).
- Tương tự, \( CG = \frac{2}{3}CE \) và \( GE = \frac{1}{3}CE \).

5. **Xét đường thẳng \( MN \):**
- \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( BE \) và \( CD \), nên \( MN \) là đường trung bình của tứ giác \( BDEC \).
- Đường trung bình của tứ giác này sẽ song song với \( DE \) và bằng một nửa độ dài của \( DE \).

6. **Xét đoạn \( MI \), \( IK \), và \( KN \):**
- Vì \( MN \) là đường trung bình, nó chia các đoạn \( BD \) và \( CE \) thành các đoạn bằng nhau.
- Do đó, \( MI \), \( IK \), và \( KN \) đều bằng nhau.

Kết luận: \( MI = IK = KN \).