Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a

Cho \( k = 2024 \). Chúng ta cần tìm một cách xếp 2024 viên bi vào bảng 2024 × 2024 sao cho không có hai viên bi nào kề nhau và nếu chuyển bất kỳ viên bi nào sang ô kề với nó thì cách xếp mới không thỏa mãn điều kiện.

Một cách xếp thỏa mãn yêu cầu này là xếp các viên bi vào các ô có tọa độ (i, j) sao cho \( i + j \) là chẵn. Cụ thể, chúng ta xếp bi vào các ô (i, j) với \( i + j \equiv 0 \pmod{2} \).

- Tổng số ô trong bảng là \( 2024 \times 2024 = 4096576 \).
- Số ô có \( i + j \) chẵn là một nửa số ô trong bảng, tức là \( \frac{4096576}{2} = 2048288 \).

Chúng ta chỉ cần chọn 2024 ô trong số các ô có \( i + j \) chẵn. Một cách đơn giản là chọn các ô trên đường chéo chính và các đường chéo song song với nó. Cụ thể, chọn các ô (i, i) với \( i \) từ 1 đến 2024.

Với cách xếp này, nếu chúng ta chuyển bất kỳ viên bi nào sang ô kề với nó, thì ô kề đó sẽ có \( i + j \) lẻ, và do đó sẽ vi phạm điều kiện không có hai viên bi nào kề nhau.

### Phần b

Chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( k \) sao cho với mọi cách xếp \( k \) viên bi thỏa mãn hai điều kiện, ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào kề nhau.

Để tìm giá trị lớn nhất của \( k \), chúng ta cần xem xét cấu trúc của bảng và các điều kiện xếp bi. Một cách tiếp cận là xem xét số lượng ô mà một viên bi có thể di chuyển đến mà không vi phạm điều kiện.

Giả sử chúng ta xếp bi vào các ô có \( i + j \) chẵn. Số lượng ô có \( i + j \) chẵn là \( 2048288 \). Nếu chúng ta xếp nhiều hơn một nửa số ô này, thì sẽ có ít nhất một viên bi mà khi chuyển sang ô kề với nó (có \( i + j \) lẻ) vẫn không vi phạm điều kiện.

Do đó, giá trị lớn nhất của \( k \) là một nửa số ô có \( i + j \) chẵn, tức là \( \frac{2048288}{2} = 1024144 \).

Vậy, giá trị lớn nhất của \( k \) là \( 1024144 \).