Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các đường cao.

a) Chứng minh: ∆ABD ∆ACE.

Ta có:
- BD và CF là các đường cao của tam giác ABC, nên BD ⊥ AC và CF ⊥ AB.
- Do đó, góc BDA và góc CEA đều là góc vuông.

Xét hai tam giác ABD và ACE:
- Góc BDA = góc CEA (cùng bằng 90 độ).
- Góc ABD = góc ACE (vì là góc nhọn trong tam giác ABC).

Vậy, hai tam giác ABD và ACE có:
- Một góc vuông bằng nhau.
- Một góc nhọn bằng nhau.

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có ∆ABD ∆ACE.

b) Chứng minh: AB.AE = AC.AD và ADE = ABC.

Để chứng minh AB.AE = AC.AD, ta sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.

Từ phần a, ta đã chứng minh ∆ABD ∆ACE. Do đó, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}
\]

Nhân chéo lên, ta được:
\[
AB \cdot AE = AC \cdot AD
\]

Tiếp theo, chúng ta chứng minh ADE = ABC.

Xét hai tam giác ADE và ABC:
- Ta đã biết góc ADE = góc ABC (vì là góc nhọn trong tam giác ABC).
- Góc DAE = góc BAC (góc chung).

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có ∆ADE ∆ABC.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán:
a) ∆ABD ∆ACE.
b) AB.AE = AC.AD và ADE = ABC.