Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán này.

**1) Chứng minh △NQP ∽ △ EQN và QN² = QP * QE**

- Xét hai tam giác △NQP và △EQN:
- Ta có ∠NQP = ∠EQN (cùng bằng 90 độ vì NQ vuông góc với QP và NE vuông góc với NQ).
- ∠QNP là góc chung của hai tam giác △NQP và △EQN.

Do đó, hai tam giác △NQP và △EQN có hai góc bằng nhau nên chúng đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{QN}{QP} = \frac{QE}{QN}
\]
Nhân chéo lên, ta được:
\[
QN^2 = QP \cdot QE
\]

**2) Tính QN, PE biết MN = 4cm; NP = 3cm**

- Vì MNPQ là hình chữ nhật, nên:
\[
QN = MN = 4 \text{ cm}
\]
\[
QP = NP = 3 \text{ cm}
\]

- Từ kết quả phần 1, ta có:
\[
QN^2 = QP \cdot QE
\]
Thay các giá trị vào, ta được:
\[
4^2 = 3 \cdot QE
\]
\[
16 = 3 \cdot QE
\]
\[
QE = \frac{16}{3} \text{ cm}
\]

- Để tính PE, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông QPE:
\[
PE = \sqrt{QE^2 - QP^2}
\]
\[
PE = \sqrt{\left(\frac{16}{3}\right)^2 - 3^2}
\]
\[
PE = \sqrt{\frac{256}{9} - 9}
\]
\[
PE = \sqrt{\frac{256}{9} - \frac{81}{9}}
\]
\[
PE = \sqrt{\frac{175}{9}}
\]
\[
PE = \frac{\sqrt{175}}{3} \text{ cm}
\]

**3) Vẽ PF vuông góc với NE tại F. Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Nối OE cắt PF tại I và cắt NP tại K.**

**a) Chứng minh I là trung điểm của PF**

- Vì PF vuông góc với NE tại F, nên tam giác PEF là tam giác vuông tại F.
- O là giao điểm của MP và NQ, do đó O là trung điểm của cả MP và NQ vì MNPQ là hình chữ nhật.
- OE là đường trung tuyến của tam giác vuông PEF, nên I là trung điểm của PF.

**b) Chứng minh Q, K, F thẳng hàng**

- Vì OE cắt NP tại K, ta có K là trung điểm của NP (do O là trung điểm của MP và NQ).
- PF vuông góc với NE tại F, nên F nằm trên đường thẳng vuông góc với NE tại E.
- Vì OE là đường trung tuyến của tam giác vuông PEF, nên K, F, và Q thẳng hàng theo định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các phần của bài toán.