Để giải hệ phương trình này bằng phương pháp đặt ẩn phụ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình đã cho là:
\[ \frac{x}{x + 1} - \frac{y}{y - 1} = 3 \]
\[ \frac{x}{x + 1} + \frac{3y}{y - 1} = -1 \]

Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt \( u = \frac{x}{x + 1} \) và \( v = \frac{y}{y - 1} \).

Khi đó, hệ phương trình trở thành:
\[ u - v = 3 \]
\[ u + 3v = -1 \]

Bước 2: Giải hệ phương trình mới
Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng hoặc trừ:

Từ phương trình thứ nhất:
\[ u - v = 3 \]
\[ u = v + 3 \]

Thay \( u = v + 3 \) vào phương trình thứ hai:
\[ (v + 3) + 3v = -1 \]
\[ v + 3 + 3v = -1 \]
\[ 4v + 3 = -1 \]
\[ 4v = -4 \]
\[ v = -1 \]

Thay \( v = -1 \) vào phương trình \( u = v + 3 \):
\[ u = -1 + 3 \]
\[ u = 2 \]

Bước 3: Quay lại ẩn ban đầu
Ta có \( u = \frac{x}{x + 1} = 2 \) và \( v = \frac{y}{y - 1} = -1 \).

Giải phương trình \( \frac{x}{x + 1} = 2 \):
\[ x = 2(x + 1) \]
\[ x = 2x + 2 \]
\[ x - 2x = 2 \]
\[ -x = 2 \]
\[ x = -2 \]

Giải phương trình \( \frac{y}{y - 1} = -1 \):
\[ y = -1(y - 1) \]
\[ y = -y + 1 \]
\[ y + y = 1 \]
\[ 2y = 1 \]
\[ y = \frac{1}{2} \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[ x = -2 \]
\[ y = \frac{1}{2} \]