Cho ba số thực a, b, c khác 0 thoả mãn

Để chứng minh rằng

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = a+b+c,
\]

chúng ta bắt đầu từ giả thiết:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 2.
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \right) \left( a+b+c \right) \geq (a+b+c)^2.
\]

Từ điều kiện trên, ta có:

\[
2(a+b+c) \geq (a+b+c)^2.
\]

Giả sử \(S = a+b+c\), điều này trở thành:

\[
2S \geq S^2 \implies S^2 - 2S \leq 0 \implies S(S - 2) \leq 0.
\]

Vì \(S = a + b + c > 0\) (do \(a, b, c\) đều khác 0) nên \(S \leq 2\).

Giờ đây, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho trái:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(b+c) + (c+a) + (a+b)}.
\]

Cụ thể,

\[
(b+c) + (c+a) + (a+b) = 2(a+b+c) = 2S.
\]

Vậy viết lại ta được:

\[
\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{S}{2}.
\]

Do đó,

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{S}{2}.
\]

Kết hợp điều kiện này với \(S \leq 2\), ta có:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \leq S.
\]

Từ đây, ta kết luận rằng:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = a+b+c
\]

với các điều kiện đã cho.