Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho hai đường thẳng tương ứng không cắt nhau. Điều này xảy ra khi hai đường thẳng song song với nhau nhưng không trùng nhau.

Xét hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
(m - 1)x + 4y = 5 \\
2x + (m - 1)y = 4
\end{cases}
\]

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng tổng quát của phương trình đường thẳng \( ax + by = c \):
\[
\begin{cases}
(m - 1)x + 4y = 5 \quad \text{(1)} \\
2x + (m - 1)y = 4 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Để hai đường thẳng song song, ta cần hệ số của \( x \) và \( y \) của hai phương trình tỉ lệ với nhau, nhưng hệ số tự do không tỉ lệ. Cụ thể, ta cần:
\[
\frac{m - 1}{2} = \frac{4}{m - 1} \quad \text{và} \quad \frac{5}{4} \neq \frac{4}{4}
\]

Giải phương trình tỉ lệ:
\[
\frac{m - 1}{2} = \frac{4}{m - 1}
\]

Nhân chéo lên ta được:
\[
(m - 1)^2 = 8
\]

Giải phương trình này:
\[
m - 1 = \pm \sqrt{8}
\]
\[
m - 1 = \pm 2\sqrt{2}
\]
\[
m = 1 \pm 2\sqrt{2}
\]

Vậy ta có hai giá trị của \( m \):
\[
m = 1 + 2\sqrt{2} \quad \text{hoặc} \quad m = 1 - 2\sqrt{2}
\]

Kết luận: Hệ phương trình vô nghiệm khi \( m = 1 + 2\sqrt{2} \) hoặc \( m = 1 - 2\sqrt{2} \).