Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh ΔABH đồng dạng với ΔCAH và suy ra AH² = BH * CH

**Chứng minh ΔABH đồng dạng với ΔCAH:**

1. Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH.
2. Xét hai tam giác ABH và CAH:
- Góc BAH chung.
- Góc AHB và góc AHC đều là góc vuông.

Do đó, theo trường hợp góc-góc (AA), ta có:
\[ \Delta ABH \sim \Delta CAH \]

**Suy ra AH² = BH * CH:**

3. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[ \frac{AB}{CA} = \frac{BH}{AH} = \frac{AH}{CH} \]

4. Từ đó, ta có:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]

### b) Tính AH và AB khi BH = 4 cm, BC = 13 cm

**Tính AH:**

1. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ 13^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ 169 = AB^2 + AC^2 \]

2. Sử dụng kết quả từ phần a:
\[ AH^2 = BH \cdot CH \]
\[ AH^2 = 4 \cdot CH \]

3. Ta có:
\[ CH = BC - BH \]
\[ CH = 13 - 4 = 9 \]

4. Do đó:
\[ AH^2 = 4 \cdot 9 = 36 \]
\[ AH = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm} \]

**Tính AB:**

5. Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABH:
\[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \]
\[ AB^2 = 6^2 + 4^2 \]
\[ AB^2 = 36 + 16 = 52 \]
\[ AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \]

### Kết quả:

- \( AH = 6 \, \text{cm} \)
- \( AB = 2\sqrt{13} \, \text{cm} \)