Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi D E lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC và DE cắt AH tại I. Gọi O là trung điểm của BC, kẻ đường thẳng vuông góc với OA tại A và cắt BC tại K. Tính AH biết AB = 3 cm, AC = 4 cm, AC^2 = CH.CB, AH^2 = AD.AB, tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB, AD.AB + AE.AC < BC^2

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các định lý hình học cơ bản. Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB = 3 \, \text{cm}\) và \(AC = 4 \, \text{cm}\). Trước hết, ta tính độ dài cạnh huyền \(BC\):

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

Đường cao \(AH\) từ \(A\) hạ xuống \(BC\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là \(ABH\) và \(ACH\). Ta có các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\[
AH^2 = AD \cdot DB \quad \text{và} \quad AH^2 = AE \cdot EC
\]

Vì \(D\) và \(E\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB\) và \(AC\), ta có:

\[
AD = AB \cdot \cos(\angle BAH) \quad \text{và} \quad AE = AC \cdot \cos(\angle CAH)
\]

Do \(AH\) là đường cao, ta có:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \text{cm}
\]

Ta kiểm tra lại các điều kiện khác trong bài toán:

1. \(AC^2 = AD \cdot DB\):

\[
AC^2 = 4^2 = 16
\]

2. \(AH^2 = AD \cdot AB\):

\[
AH^2 = 2.4^2 = 5.76
\]

3. Tam giác \(ADE\) đồng dạng với tam giác \(ACB\):

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
\]

4. \(AD \cdot AB + AE \cdot AC < \frac{BC^2}{2}\):

\[
AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2.4 \cdot 3 + 2.4 \cdot 4 = 7.2 + 9.6 = 16.8
\]

\[
\frac{BC^2}{2} = \frac{25}{2} = 12.5
\]

Điều kiện này không thỏa mãn, có thể có sai sót trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại các bước tính toán.

Tóm lại, độ dài đường cao \(AH\) từ \(A\) hạ xuống \(BC\) trong tam giác vuông \(ABC\) là \(2.4 \, \text{cm}\).