Cho tứ giác \(ABCD\) có số đo các góc \(B\) và \(D\) bằng \(90^\circ\). Vẽ đường phân giác \(AM\) của góc \(A\) và đường phân giác \(CN\) của góc \(C\) (M, N lần lượt thuộc các cạnh \(CD\) và \(AB\)). Biết \(AM\) không trùng với \(CN\). Chúng ta cần chứng minh rằng \(AM \parallel CN\).

Trước hết, ta có các góc \( \angle B = \angle D = 90^\circ \). Điều này có nghĩa là \(AB \perp BD\) và \(CD \perp BD\).

Xét tứ giác \(ABCD\), ta có:
- \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)
- \( \angle B = 90^\circ \) và \( \angle D = 90^\circ \)

Do đó:
\[ \angle A + \angle C = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ \]

Điều này có nghĩa là \( \angle A \) và \( \angle C \) là hai góc bù nhau.

Bây giờ, xét đường phân giác \(AM\) của góc \(A\) và đường phân giác \(CN\) của góc \(C\).

- Đường phân giác \(AM\) chia góc \(A\) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[ \angle BAM = \angle DAM = \frac{1}{2} \angle A \]

- Tương tự, đường phân giác \(CN\) chia góc \(C\) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[ \angle BCN = \angle DCN = \frac{1}{2} \angle C \]

Do \( \angle A + \angle C = 180^\circ \), ta có:
\[ \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ \]

Điều này có nghĩa là:
\[ \angle BAM + \angle DCN = 90^\circ \]

Vì \( \angle BAM \) và \( \angle DCN \) là hai góc kề bù, nên hai đường thẳng \(AM\) và \(CN\) phải song song với nhau. Do đó:
\[ AM \parallel CN \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(AM \parallel CN\).