Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh rằng tam giác OAB cân

Cho hình thang cân ABCD với AB // CD và AB < CD. Đường chéo AD cắt BC tại O.

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác OAB:**
- Vì AB // CD và AD cắt BC tại O, nên góc OAB và góc OBA là các góc so le trong.
- Do đó, góc OAB = góc OBA.

2. **Kết luận:**
- Tam giác OAB có hai góc bằng nhau (góc OAB = góc OBA), nên tam giác OAB là tam giác cân tại O.

### b) Chứng minh rằng các tứ giác MNAB, MNDC là các hình thang cân

Cho điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại N.

**Chứng minh:**

1. **Chứng minh tứ giác MNAB là hình thang cân:**
- Vì MN // CD và AB // CD, nên MN // AB.
- Do đó, tứ giác MNAB có hai cạnh đối song song (MN // AB), nên MNAB là hình thang.
- Vì hình thang ABCD là hình thang cân, nên AB = CD.
- Do đó, MN // AB và MN = AB (vì MN là đoạn thẳng song song với CD và cắt BD tại N).
- Vì MN // AB và MN = AB, nên tứ giác MNAB là hình thang cân.

2. **Chứng minh tứ giác MNDC là hình thang cân:**
- Vì MN // CD, nên tứ giác MNDC có hai cạnh đối song song (MN // CD), nên MNDC là hình thang.
- Vì hình thang ABCD là hình thang cân, nên AB = CD.
- Do đó, MN // CD và MN = CD (vì MN là đoạn thẳng song song với CD và cắt BD tại N).
- Vì MN // CD và MN = CD, nên tứ giác MNDC là hình thang cân.

### Kết luận:

- Tam giác OAB là tam giác cân.
- Các tứ giác MNAB và MNDC đều là các hình thang cân.