Để chứng minh bốn điểm \( I, M, O, N \) thẳng hàng trong hình thang cân \( ABCD \) (với \( AB \parallel CD \) và \( AB < CD \)), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và các phép biến đổi hình học.

1. **Tính chất của hình thang cân:**
- \( AB \parallel CD \)
- \( AD = BC \)
- \( \angle DAB = \angle CBA \)
- \( \angle ADC = \angle BCD \)

2. **Trung điểm của các cạnh:**
- \( M \) là trung điểm của \( AB \)
- \( N \) là trung điểm của \( CD \)

3. **Giao điểm của các đường chéo:**
- \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \)

4. **Giao điểm của các đường chéo phụ:**
- \( I \) là giao điểm của \( AD \) và \( BC \)

### Chứng minh:

#### Bước 1: Chứng minh \( M, O, N \) thẳng hàng

- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) tương ứng, nên \( MN \) là đường trung bình của hình thang \( ABCD \).
- Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng độ dài hai đáy:
\[
MN \parallel AB \parallel CD \quad \text{và} \quad MN = \frac{AB + CD}{2}
\]
- \( O \) là giao điểm của hai đường chéo \( AC \) và \( BD \). Trong hình thang cân, giao điểm của hai đường chéo nằm trên đường trung bình của hình thang.
- Do đó, \( O \) nằm trên đường thẳng \( MN \).

#### Bước 2: Chứng minh \( I \) nằm trên đường thẳng \( MN \)

- \( I \) là giao điểm của \( AD \) và \( BC \).
- Trong hình thang cân, các đường chéo phụ (AD và BC) cũng cắt nhau tại một điểm nằm trên đường trung bình của hình thang.
- Do đó, \( I \) cũng nằm trên đường thẳng \( MN \).

### Kết luận:

Vì \( M, O, N \) thẳng hàng và \( I \) cũng nằm trên đường thẳng \( MN \), nên bốn điểm \( I, M, O, N \) thẳng hàng.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng bốn điểm \( I, M, O, N \) thẳng hàng.